Трансформаторы, сетки сопротивлений, сверхпроводники: Часть 2

Видео

Конспект

3. Трёхфазный трансформатор. Сердечник в форме буквы «Ш»

Сердечник в форме буквы «Ш» (три стержня) позволяет намотать три независимые пары обмоток. Такая конструкция используется в трёхфазных трансформаторах, необходимых для питания электродвигателей: вращающееся магнитное поле создаётся тремя парами катушек, фазы напряжений которых сдвинуты на $120°$ друг относительно друга.

В трёхфазной сети:

напряжение фаза–нейтраль: $U_{ф} = 220\,В$ (эффективное);

напряжение между двумя фазами: $U_{лин} = \sqrt{3}\cdot 220 \approx 380\,В$.

Фазы трёх напряжений: $0°$, $120°$, $240°$.

4. Сетки сопротивлений

Рассматриваются бесконечные плоские (и объёмная) сетки, в каждом ребре которых включён элемент с комплексным сопротивлением $Z$. Задача: найти эквивалентное сопротивление $Z_{экв}$ между двумя соседними узлами.

Метод расчёта основан на принципе суперпозиции: ток $+I$ запускается в один узел, ток $-I$ извлекается из другого узла; вдали от обоих узлов считается размещён идеально проводящий замыкающий контур. В силу симметрии ток равномерно распределяется по всем ребрам, выходящим из узла.

4.1. Треугольная сетка (6 рёбер на узел)

Из узла-источника ток расходится по 6 направлениям, каждое несёт $I/6$. В ребро между источником и стоком течёт $I/6 + I/6 = I/3$. $$

U = Z\cdot\frac{I}{3} \implies Z_{экв} = \frac{U}{I} = \frac{Z}{3}.

$$

4.2. Квадратная сетка (4 ребра на узел)

Ток расходится по 4 направлениям ($I/4$ каждое); через соединяющее ребро: $I/4 + I/4 = I/2$. $$

Z_{экв} = \frac{Z}{2}.

$$

4.3. Шестиугольная сетка (3 ребра на узел), соседние узлы

Ток из источника делится на 3 ветви ($I/3$), затем каждая снова делится на 3 ($I/9$) и т.д. Ток через соединяющее ребро: $I/3 + I/3 = 2I/3$. $$

Z_{экв} = \frac{U}{I} = \frac{3}{2}\cdot\frac{U}{I/3+I/3} \implies Z_{экв} = \frac{2}{3}\,Z.

$$

4.4. Две наложенные шестиугольные сетки

Две шестиугольные сетки накладываются так, что узлы одной (белой, $Z_1$) попадают в центры шестиугольников другой (красной, $Z_2$). Прибор подключается к узлу белой и к узлу красной сетки (через один пролёт). Для каждой сетки отдельно ток через соединяющий участок равен $I/2$, что даёт $Z_{экв,бел} = Z_{экв,кр} = Z$. Поскольку обе сетки включены параллельно: $$

\frac{1}{Z_{экв}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}.

$$

4.5. Кубическая сетка (6 рёбер на узел)

Аналогична треугольной сетке по числу связей. Итог: $$

Z_{экв} = \frac{Z}{3}.

$$

4.6. Пример: две наложенные шестиугольные сетки из конденсаторов и катушек

Пример 1: Белая шестиугольная сетка составлена из конденсаторов ёмкостью $C$, красная — из катушек индуктивностью $L$. Определить ток, протекающий через прибор, подключённого между узлом белой и узлом красной сетки, если к этим же узлам приложено напряжение $U_0 e^{i\omega t}$.

Решение:

Сопротивления элементов: $$

Z_{бел} = \frac{1}{i\omega C}, \qquad Z_{кр} = i\omega L.

$$

Эквивалентное параллельное сопротивление: $$

Z_{экв} = \frac{Z_{бел}\cdot Z_{кр}}{Z_{бел} + Z_{кр}}

= \frac{\dfrac{1}{i\omega C}\cdot i\omega L}{\dfrac{1}{i\omega C} + i\omega L}

= \frac{L/C}{i\!\left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)}.

$$

Ток: $$

I(t) = \operatorname{Re}\!\left(\frac{U_0\, e^{i\omega t}}{Z_{экв}}\right).

$$

Амплитуда тока: $$

I_0 = \frac{U_0}{L/C}\cdot\frac{1}{\left|\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right|}

= \frac{U_0 C/L}{\left|\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right|}.

$$

Ответ: При $\omega^2 LC = 1$ ток обращается в нуль (резонанс). При других частотах ток конечен, его фаза зависит от знака $\omega L - 1/(\omega C)$.