Трансформаторы, сетки сопротивлений, сверхпроводники

3. Трёхфазный трансформатор. Сердечник в форме буквы «Ш» Сердечник в форме буквы «Ш» (три стержня) позволяет намотать три независимые пары обмоток. Такая конструкция используется в трёхфазных трансформаторах , необходимых для питания электродвигателей: вращающееся магнитное поле создаётся тремя парами катушек, фазы напряжений которых сдвинуты на $120°$ друг относительно друга. В трёхфазной сети: напряжение фаза–нейтраль: $U_{ф} = 220\,В$ (эффективное); напряжение между двумя фазами: $U_{лин} = \sqrt{3}\cdot 220 \approx 380\,В$. Фазы трёх напряжений: $0°$, $120°$, $240°$. 4. Сетки сопротивлений Рассматриваются бесконечные плоские (и объёмная) сетки, в каждом ребре которых включён элемент с комплексным сопротивлением $Z$. Задача: найти эквивалентное сопротивление $Z_{экв}$ между двумя соседними узлами. Метод расчёта основан на принципе суперпозиции : ток $+I$ запускается в один узел, ток $-I$ извлекается из другого узла; вдали от обоих узлов считается размещён идеально проводящий замыкающий контур. В силу симметрии ток равномерно распределяется по всем ребрам, выходящим из узла. 4.1. Треугольная сетка (6 рёбер на узел) Из узла-источника ток расходится по 6 направлениям, каждое несёт $I/6$. В ребро между источником и стоком течёт $I/6 + I/6 = I/3$. $$ U = Z\cdot\frac{I}{3} \implies Z_{экв} = \frac{U}{I} = \frac{Z}{3}. $$ 4.2. Квадратная сетка (4 ребра на узел) Ток расходится по 4 направлениям ($I/4$ каждое); через соединяющее ребро: $I/4 + I/4 = I/2$. $$ Z_{экв} = \frac{Z}{2}. $$ 4.3. Шестиугольная сетка (3 ребра на узел), соседние узлы Ток из источника делится на 3 ветви ($I/3$), затем каждая снова делится на 3 ($I/9$) и т.д. Ток через соединяющее ребро: $I/3 + I/3 = 2I/3$. $$ Z_{экв} = \frac{U}{I} = \frac{3}{2}\cdot\frac{U}{I/3+I/3} \implies Z_{экв} = \frac{2}{3}\,Z. $$ 4.4. Две наложенные шестиугольные сетки Две шестиугольные сетки накладываются так, что узлы одной (белой, $Z_1$) попадают в центры шестиугольников другой (красной, $Z_2$). Прибор подключается к узлу белой и к узлу красной сетки (через один пролёт). Для каждой сетки отдельно ток через соединяющий участок равен $I/2$, что даёт $Z_{экв,бел} = Z_{экв,кр} = Z$. Поскольку обе сетки включены параллельно: $$ \frac{1}{Z_{экв}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}. $$ 4.5. Кубическая сетка (6 рёбер на узел) Аналогична треугольной сетке по числу связей. Итог: $$ Z_{экв} = \frac{Z}{3}. $$ 4.6. Пример: две наложенные шестиугольные сетки из конденсаторов и катушек Пример 1: Белая шестиугольная сетка составлена из конденсаторов ёмкостью $C$, красная — из катушек индуктивностью $L$. Определить ток, протекающий через прибор, подключённого между узлом белой и узлом красной сетки, если к этим же узлам приложено напряжение $U_0 e^{i\omega t}$. Решение: Сопротивления элементов: $$ Z_{бел} = \frac{1}{i\omega C}, \qquad Z_{кр} = i\omega L. $$ Эквивалентное параллельное сопротивление: $$ Z_{экв} = \frac{Z_{бел}\cdot Z_{кр}}{Z_{бел} + Z_{кр}} = \frac{\dfrac{1}{i\omega C}\cdot i\omega L}{\dfrac{1}{i\omega C} + i\omega L} = \frac{L/C}{i\!\left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)}. $$ Ток: $$ I(t) = \operatorname{Re}\!\left(\frac{U_0\, e^{i\omega t}}{Z_{экв}}\right). $$ Амплитуда тока: $$ I_0 = \frac{U_0}{L/C}\cdot\frac{1}{\left|\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right|} = \frac{U_0 C/L}{\left|\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right|}. $$ Ответ: При $\omega^2 LC = 1$ ток обращается в нуль (резонанс). При других частотах ток конечен, его фаза зависит от знака $\omega L - 1/(\omega C)$.