Колебательный контур и генератор (практика)

Лекция 10: Колебательный контур и генератор (практика) Часть I: Скользящая перемычка в магнитном поле — случай резистора Рассмотрим систему: в однородном магнитном поле $\mathbf{B}$, направленном перпендикулярно плоскости рисунка (за доску), расположены две параллельные проводящие направляющие, расстояние между которыми равно $L$. По направляющим может скользить перемычка массой $m$; сверху направляющие соединены элементом электрической цепи. Сопротивление направляющих и перемычки пренебрежимо мало. На перемычку действует сила тяжести $mg$. Обозначим координату перемычки $y$ (отсчитывается вниз от верхнего элемента), скорость $\dot{y}$. Начальные условия: $y(0) = 0$, $\dot{y}(0) = 0$. Выберем направление обхода контура так, чтобы ток через амперметр, включённый в перемычку, был положительным при движении носителей вниз по перемычке. Тогда вектор нормали к контуру направлен к наблюдателю, а магнитный поток $$ \Phi = -B \cdot L \cdot y $$ (знак «минус» возникает из-за противоположной направленности $\mathbf{B}$ и нормали). ЭДС электромагнитной индукции: $$ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = BL\dot{y}. $$ Случай 1: нагрузка — резистор $R$. По закону Ома: $$ \mathcal{E} = IR \implies I = \frac{BL}{R}\,\dot{y}. $$ На перемычку со стороны магнитного поля действует сила Ампера , направленная вверх (противоположно движению): $$ F_{А} = ILB = \frac{B^2L^2}{R}\,\dot{y}. $$ Второй закон Ньютона для перемычки: $$ m\ddot{y} = mg - \frac{B^2L^2}{R}\,\dot{y}. $$ Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно $\dot{y}$. Установившаяся скорость. При $t \to \infty$ ускорение обращается в ноль: $$ \dot{y}_\infty = \frac{mgR}{B^2L^2}. $$ Общее решение. Представим $\dot{y}(t) = \dot{y}_\infty + \dot{y}_\tau(t)$, где $\dot{y}_\tau$ — переходная (затухающая) составляющая. Подстановка даёт: $$ m\ddot{y}_\tau = -\frac{B^2L^2}{R}\,\dot{y}_\tau, $$ откуда $$ \dot{y}_\tau(t) = C_0 \exp\!\left(-\frac{B^2L^2}{mR}\,t\right). $$ Из начального условия $\dot{y}(0) = 0$ следует $C_0 = -\dot{y}_\infty$. Итоговый закон изменения скорости: $$ \boxed{\dot{y}(t) = \frac{mgR}{B^2L^2}\left(1 - e^{-\dfrac{B^2L^2}{mR}\,t}\right).} $$ В начальный момент скорость равна нулю; затем она экспоненциально возрастает и асимптотически стремится к $\dot{y}_\infty$. Часть II: Скользящая перемычка — случаи конденсатора и катушки индуктивности Рассмотрим ту же конструкцию (направляющие, перемычка массой $m$, поле $B$, расстояние $L$), заменяя нагрузочный элемент. Случай 2: нагрузка — конденсатор $C$ ЭДС, как и прежде: $$ \mathcal{E} = BL\dot{y}. $$ Заряд на конденсаторе обозначим $q$ ($q(0) = 0$). Ток $I = \dot{q}$. Сопротивление в цепи отсутствует, поэтому сумма всех ЭДС в контуре равна нулю: $$ BL\dot{y} - \frac{q}{C} = 0 \implies BL\dot{y} = \frac{q}{C}. $$ Дифференцируем по времени: $$ BL\ddot{y} + \frac{\dot{q}}{C} = 0 \implies BL\ddot{y} + \frac{I}{C} = 0. $$ Сила Ампера: $F_{А} = ILB$, направлена вверх. Второй закон Ньютона: $$ m\ddot{y} = mg - ILB. $$ Из уравнения цепи: $I = -BLC\ddot{y}$. Подставляем: $$ m\ddot{y} = mg - (-BLC\ddot{y}) \cdot LB = mg - B^2L^2C\,\ddot{y}, $$ $$ (m + B^2L^2C)\,\ddot{y} = mg, $$ $$ \boxed{\ddot{y} = \frac{mg}{m + B^2L^2C} = const.} $$ Движение равноускоренное, но с ускорением, меньшим чем $g$: эффективная инертность системы возрастает за счёт электромагнитного взаимодействия. Случай 3: нагрузка — катушка индуктивности $\mathcal{L}$ ЭДС в контуре: $$ \mathcal{E} = BL\dot{y}. $$ ЭДС самоиндукции катушки: $-\mathcal{L}\dot{I}$. Полное сопротивление цепи равно нулю, поэтому: $$ BL\dot{y} - \mathcal{L}\dot{I} = 0. $$ Интегрируем (при начальных условиях $y(0) = 0$, $I(0) = 0$, откуда константа интегрирования равна нулю): $$ BLy - \mathcal{L}I = 0 \implies I = \frac{BL}{\mathcal{L}}\,y. $$ Сила Ампера направлена вверх: $F_{А} = ILB$. Второй закон Ньютона: $$ m\ddot{y} = mg - ILB = mg - \frac{B^2L^2}{\mathcal{L}}\,y. $$ Переносим член с $y$ в левую часть и делим на $m$: $$ \ddot{y} + \frac{B^2L^2}{m\mathcal{L}}\,y = g. $$ Обозначим $$ \omega^2 = \frac{B^2L^2}{m\mathcal{L}}. $$ Тогда $$ \ddot{y} + \omega^2 y = g. $$ Это уравнение гармонических колебаний с ненулевой правой частью. Равновесное положение $y_0 = g/\omega^2$ не совпадает с начальным положением перемычки, поэтому перемычка совершает колебания вокруг $y_0$ с периодом: $$ \boxed{T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m\mathcal{L}}{B^2L^2}}.} $$ Таким образом, в случае индуктивной нагрузки движение перемычки носит характер незатухающих гармонических колебаний вблизи положения равновесия. Итог. В зависимости от нагрузочного элемента, подключённого к скользящей перемычке в магнитном поле, реализуются качественно различные режимы движения: Резистор $R$: экспоненциальный выход на установившуюся скорость $\dot{y}_\infty = mgR/(B^2L^2)$. Конденсатор $C$: равноускоренное движение с уменьшенным ускорением $g_{эфф} = mg/(m + B^2L^2C)$. Катушка индуктивности $\mathcal{L}$: гармонические колебания с периодом $T = 2\pi\sqrt{m\mathcal{L}/(B^2L^2)}$. При произвольно...