Электростатика: Часть 2

Видео

Конспект

Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса

Принцип суперпозиции. Многочисленные эксперименты показывают однородность пространства: воздействия нескольких зарядов на один складываются как векторы. Каждый из зарядов $q_2, q_3, \ldots$ через посредника — электрическое поле — создаёт свой вклад в силу, действующую на $q_1$. Принцип суперпозиции выполняется для малых полей, когда изменения могут рассматриваться как линейные поправки: $$

\Delta f \approx \frac{\partial E}{\partial x}\bigg|_{x_0} \Delta x.

$$

Теорема Гаусса. Введём понятие потока вектора $\vec{E}$ через поверхность $S$. Элементарный вклад в поток: $$

d\Phi = (\hat{n} \cdot \vec{E})\, dS,

$$ где $\hat{n}$ — единичная внешняя нормаль к поверхности, $dS$ — элемент площади.

Для точечного заряда $q$, окружённого сферической поверхностью радиуса $r$: $$

\Phi = E \cdot 4\pi r^2 = \frac{kq}{r^2} \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0},

$$ поскольку $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, откуда $4\pi r^2$ сокращается.

Форма замкнутой поверхности не влияет на результат:

При замене части сферы «ручкой» с боковыми стенками вдоль силовых линий скалярное произведение $\hat{n} \cdot \vec{E} = 0$ на боковой поверхности, а увеличение площади торца в $\alpha^2$ раз компенсируется уменьшением поля в $\alpha^2$ раз.

При наклоне торца на угол $\beta$ площадка растёт в $1/\cos\beta$ раз, но скалярное произведение $\hat{n} \cdot \vec{E}$ уменьшается на $\cos\beta$ — множители сокращаются.

Изогнутые дополнения к сфере приводят к тому, что силовая линия входит и выходит через дополнительный участок равное число раз (число выходов на 1 больше числа входов), поэтому суммарный поток не меняется.

Теорема Гаусса (общая формулировка): поток вектора $\vec{E}$ через любую замкнутую поверхность пропорционален суммарному заряду внутри неё: $$

\oint (\hat{n} \cdot \vec{E})\, dS = \frac{Q_{внутр}}{\varepsilon_0}.

$$

В среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ электрическое поле ослабляется в $\varepsilon$ раз, и электрическая постоянная заменяется на $\varepsilon\varepsilon_0$: $$

k_{среда} = \frac{1}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0}.

$$

Вводится вектор индукции электрического поля $\vec{D}$: $$

\vec{D} = \varepsilon\varepsilon_0\,\vec{E}.

$$ Теорема Гаусса в терминах $\vec{D}$ принимает вид: $$

\oint (\vec{D} \cdot d\vec{S}) = Q_{внутр},

$$ где $Q_{внутр}$ — полный заряд внутри поверхности. Эта форма удобна, так как не содержит $\varepsilon$.