Кинематические связи. Блоки. Часть 1

Решение задачи 5 Пусть сила натяжения длинной нити равна $T$. Ускорение груза с массой $M$ будем обозначать с помощью $A$, ускорение груза с массой $m$ будем обозначать с помощью $a$. Силу взаимодействия (силу нормальной реакции опоры) между грузами $m$ и $M$ назовём $N$. Запишем второй закон Ньютона для обоих грузов (на ось $X$, горизонтальную, направленную вправо, и ось $Y$, вертикальную, направленную вниз). Сила, действующая на блок, прикреплённый к грузу $M$, по сути действует на этот самый груз. $$ \begin{cases} m a_y = m g - T \\ m a_x = N \\ M A_x = T - N \end{cases} $$ Запишем условия нерастяжимости нити, сказав, что 0 по оси $X$ совмещён со стеной справа, а 0 по оси $Y$ совмещён с блоком, прикреплённым к грузу $M$: $$ L = 0 - x + y \ => \ a_y = a_x. $$ Большой груз, очевидно, движется вправо и влечёт за собой маленький груз. Значит они двигаются без отрыва, откуда $$a_x = A_x.$$ Решая систему уравнений, получаем: $$ A_x = a_y = a_x = \frac{m}{2m + M}g. $$ По теореме Пифагора $$a = \sqrt{a_y^2 + a_x^2} = \sqrt{2}\frac{m}{2m + M}g.$$ Большой груз движется по горизонтальной поверхности без отрыва, значит $$A = A_x = \frac{m}{2m + M}g.$$ Решение задачи 6 Пусть сила натяжения длинной нити равна $T$. Ускорение груза с массой $M$ будем обозначать с помощью $A$, ускорение груза с массой $m$ будем обозначать с помощью $a$. Силу взаимодействия (силу нормальной реакции опоры) между грузами $m$ и $M$ назовём $N$. Запишем второй закон Ньютона для обоих грузов (на ось $X$, горизонтальную, направленную вправо, и ось $Y$, вертикальную, направленную вниз). Сила, действующая на блок, прикреплённый к грузу $M$, по сути действует на этот самый груз. $$ \begin{cases} m a_y = m g - T \\ m a_x = N \\ M A_x = 2T - N \end{cases} $$ Запишем условия нерастяжимости нити, сказав, что 0 по оси $X$ совмещён со стеной справа, а 0 по оси $Y$ совмещён с блоком, прикреплённым к грузу $M$: $$ L = 2(0 - x) + y \ => \ a_y = 2a_x. $$ Большой груз, очевидно, движется вправо и влечёт за собой маленький груз. Значит они двигаются без отрыва, откуда $$a_x = A_x.$$ Решая систему уравнений, получаем: $$ \begin{cases} A_x = a_x =\displaystyle \frac{2m}{5m + M}g. \\ a_y = 2a_x \end{cases} $$ По теореме Пифагора $$a = \sqrt{a_y^2 + a_x^2} = \sqrt{(2a_x)^2 + a_x^2} = \sqrt{5}\frac{2m}{5m + M}g.$$ Большой груз движется по горизонтальной поверхности без отрыва, значит $$A = A_x = \frac{2m}{5m + M}g.$$ Решение задачи 7 Пусть сила натяжения длинной нити равна $T$. Ускорение груза с массой $M$ будем обозначать с помощью $A$, ускорение груза с массой $m$ будем обозначать с помощью $a$. Силу взаимодействия (силу нормальной реакции опоры) между грузами $m$ и $M$ назовём $N$. Запишем второй закон Ньютона для обоих грузов (на ось $X$, горизонтальную, направленную вправо, и ось $Y$, вертикальную, направленную вниз). Сила, действующая на блок, прикреплённый к грузу $M$, по сути действует на этот самый груз. $$ \begin{cases} m a_y = m g - T \\ m a_x = N \\ M A_x = 3T - N \end{cases} $$ Запишем условия нерастяжимости нити, сказав, что 0 по оси $X$ совмещён со стеной справа, а 0 по оси $Y$ совмещён с блоком, прикреплённым к грузу $M$: $$ L = 3(0 - x) + y \ => \ a_y = 3a_x. $$ Большой груз, очевидно, движется вправо и влечёт за собой маленький груз. Значит они двигаются без отрыва, откуда $$a_x = A_x.$$ Решая систему уравнений, получаем: $$ \begin{cases} A_x = a_x =\displaystyle \frac{3m}{10m + M}g. \\ a_y = 3a_x \end{cases} $$ По теореме Пифагора $$a = \sqrt{a_y^2 + a_x^2} = \sqrt{9a_x^2 + a_x^2} = \sqrt{10}\frac{3m}{10m + M}g.$$ Большой груз движется по горизонтальной поверхности без отрыва, значит $$A = A_x = \frac{3m}{10m + M}g.$$ Решение задачи 8 Пусть сила натяжения верхней нити равна $T$, а нижней $T_1$. Ускорение груза с массой $M$ будем обозначать с помощью $A$, ускорение груза с массой $m_1$ будем обозначать с помощью $a_1$, ускорение груза с массой $m_2$ будем обозначать с помощью $a_2$. Силу взаимодействия (силу нормальной реакции опоры) между грузами $m$ и $M$ назовём $N$. Запишем второй закон Ньютона для обоих грузов (на ось $X$, горизонтальную, направленную вправо, и ось $Y$, вертикальную, направленную вниз). Сила, действующая на блок, прикреплённый к грузу $M$, по сути действует на этот самый груз. $$ \begin{cases} m_1 a_{y1} = m_1 g - T \\ m_2 a_{y2} = m_2 g - T_1 \\ m_1 a_{x1} = N \\ M A_x = T + T_1 - N \end{cases} $$ Запишем условия нерастяжимости нити, сказав, что 0 по оси $X$ совмещён со стеной справа, а 0 по оси $Y$ совмещён с блоком, прикреплённым к грузу $M$: $$ L_1 = (0 - x_1) + y_1 \ => \ a_{y1} = a_{x1}. $$ $$ L_2 = (0 - X) + y_2 \ => \ a_{y2} = A_x. $$ Большой груз, очевидно, движется вправо и влечёт за собой маленький груз. Значит они двигаются без отрыва, откуда $$a_{x1} = A_x.$$ Решая систему уравнений, получаем: $$ A_x = a_{x1} = a_{y1} = a_{y2} =\displaystyle \frac{m_1 + m_2}{2m_1 + m_2 + M}g. $$ По теореме Пифагора $$a_1 = \sqrt{a_{y1}^2 + a_{x1}^2} = \sqrt{2}\frac{m_1 + m_2}{2m_1 + m_2 + M}g.$$ Большой груз движется по горизонт...