Перегретые и переохлажденные жидкости

Задача 3 Условие В теплоизолированном сосуде находится 2 л воды при температуре $10^{\circ}$. В сосуд наливают 0,8 кг жидкого азота при температуре кипения ( 77 К). Найдите температуру и агрегатное состояние вещества в сосуде после установления теплового равновесия. Теплоемкостью стенок сосуда пренебречь. Удельная теплоемкость парообразования азота $L_{а}=2 \cdot 10^{5}$ Дж/кг; удельная теплоемкость газообразного азота $c_{а}=10^{3}$ Дж/(кг $\cdot$ град); удельная теплота плавления льда $r_{л}=3,4 \cdot 10^{5}$ Дж/кг, удельная теплоемкость воды $c_{\text {в }}=4,2 \cdot 10^{3}$ Дж/(кг $\cdot$ град); удельная теплоемкость льда $C_{л}=2,1 \cdot 10^{3}$ Дж/(кг $\cdot$ град). Решение Обозначим первоначальную массу жидкой воды через $m_{\text {в }}$ и массу жидкого азота через $m_{а}$. При охлаждении воды от 10 до $0^{\circ} C$ выделяется количество теплоты $Q_{1}=m_{\text {в }} C_{\text {в }} \cdot \Delta T_{1}=0,84 \cdot 10^{5}$ Дж. При замерзании всей массы воды выделяется количество теплоты $Q_{2}=m_{\text {в }} r_{\text {л }}=6,8 \cdot 10^{5}$ Дж. Чтобы азот перешел при температуре кипения из жидкого состояния в газообразное, требуется количество теплоты $Q_{3}=m_{а} L_{а}=1,6 \cdot 10^{5}$ Дж. При нагревании всей массы газообразного азота от температуры кипения до $0^{\circ} C$ его температура меняется на величину $\Delta T_{2}=273^{\circ}-77^{\circ}=196^{\circ}$. Чтобы этот процесс прошел, азоту надо сообщить, количество теплоты $Q_{4}=m_{а} C_{а} \cdot \Delta T_{2}=1,6 \cdot 10^{5}$ Дж. Мы видим, что, с одной стороны, количество теплоты $Q_{1}$, выделившееся при остывании воды, недостаточно для превращения всей массы жидкого азота в газообразное состояние $\left(Q_{1} Q_{3}+Q_{4}\right)$. Отсюда ясно, что равновесие наступит при $0^{\circ} C$, однако вода при этом будет существовать одновременно в трех агрегатных состояниях - в жидком и твердом. Массу $m_{\text {л }}$ воды, которая перейдет в твердое состояние, нетрудно найти, исходя из следующего уравнения теплового баланса: $$m_{\text {в }} c_{\text {в }} \cdot \Delta T_{1}+m_{\text {л }} r_{\text {л }}=m_{а} L_{а}+m_{а} c_{а} \cdot \Delta T_{2}.$$ Решая настоящее уравнение относительно $m_{\text {л }}$, находим: $$m_{\text {л }}=\left(m_{а}\left(L_{а}+c_{а} \cdot T_{2}\right)-m_{\text {в }}c_{\text {в }} \cdot \Delta T_{1}\right) / r_{\text {л }}=0,7 кг.$$ Ответ $m_{\text {л }}=0,7 кг.$ Задача 4 Условие В тонкостенной пластиковой бутылке находится $m_{0}=1$ кг переохлаждённой жидкой воды. В бутылку бросили сосульку массой $m_{1}=100$ г, имеющую ту же температуру, что и вода в бутылке. После установления теплового равновесия в бутылке осталось $m_{2}=900$ г жидкости. Какую температуру имела переохлаждённая вода? Удельные теплоёмкости воды и льда равны $C_{1}=4200$ Дж/(кг$\cdot^{\circ} C$) и $C_{2}=2100$ Дж/(кг$\cdot^{\circ} C$) соответственно, удельная теплота плавления льда $\lambda=3,4 \cdot 10^{5}$ Дж/кг. Теплоёмкостью бутылки и потерями тепла пренебречь. Решение После того, как в переохлаждённую воду бросили сосульку, в воде начался процесс кристаллизации. Так как после его окончания в бутылке осталась вода, то конечная температура системы равна $0^{\circ} C$. Из условия задачи следует, что в лёд превратилась масса воды, равная $m_{0}-m_{2}$. При этом выделилось количество теплоты $\lambda\left(m_{0}-m_{2}\right)$. Эта теплота пошла на нагрев сосульки и имевшейся вначале воды от температуры $T$ до $0^{\circ} C$, то есть на величину $\Delta T=0^{\circ} C-T$. Запишем уравнение теплового баланса: $$\lambda\left(m_{0}-m_{2}\right)=c_{1} m_{0} \Delta T+c_{2} m_{1} \Delta T=\left(c_{1} m_{0}+c_{2} m_{1}\right) \Delta T=-\left(c_{1} m_{0}+c_{2} m_{1}\right)\left(T-0^{\circ} C\right).$$ Отсюда для температуры $T$ получаем: $$T=0^{\circ} C+\frac{\lambda\left(m_{2}-m_{0}\right)}{c_{1} m_{0}+c_{2} m_{1}}=\frac{3,4 \cdot 10^{5}(\text { Дж/кг }) \cdot(0,9 кг-1 кг)}{4200\left(\text { Дж } /\left( кг \cdot^{\circ} C\right)\right) \cdot 1 кг+2100\left(\text { Дж} /кг\cdot^{\circ} C\right) \cdot 0,1 кг} \approx-7,7^{\circ} C.$$ Ответ $-7,7^{\circ} C$.