Уравнение теплового баланса: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2

Условие

Теплоизолированный сосуд был до краев наполнен водой при температуре $t_{0}=19^{\circ}$С. В середину этого сосуда быстро, но аккуратно опустили деталь, изготовленную из металла плотностью 2700 $кг/м^{3}$ при температуре $t_{\text {д }}=99^{0} C$, и закрыли крышкой. После установления теплового равновесия температура воды в кастрюле стала равной $t_{х}=32,2^{\circ} C$. Затем в этот же сосуд, наполненный до краев водой при температуре $t_{0}=19{ }^{0} C$, вновь быстро, но аккуратно, опускают две такие детали, нагретые до той же температуры $t_{\text {д }}=99^{\circ} C$ и закрыли крышкой. В этом случае после установления в сосуде теплового равновесия температура воды в сосуде стала равной $t_{y}$ $=48,8^{\circ} C$. Чему равна удельная теплоемкость $c_{1}$ материала, из которого изготовлены детали? Плотность воды 1000 $кг/м^{3}$, удельная теплоемкость 4200 $Дж/кг\cdot^{\circ} C$

Решение

Пусть объем сосуда равен $V_{0}$, а объем детали, соответственно, $V_{1}$.

Запишем уравнения теплового баланса для первого и для второго случаев:

$$

c_{1} \rho_{1} V_{1}\left(t_{\text {д }}-t_{x}\right)=c_{0} \rho_{0}\left(V_{0}-V_{1}\right)\left(t_{x}-t_{0}\right), \quad (1)

$$

$$

c_{1} \rho_{1} \cdot 2 V_{1}\left(t_{\text {д }}-t_{y}\right)=c_{0} \rho_{0}\left(V_{0}-2 V_{1}\right)\left(t_{y}-t_{0}\right) . \quad (2)

$$

Исключим из этой системы объем $V_{0}$. Для этого выразим в каждом уравнении величину $c_{0} \rho_{0} V_{0}$ и приравняем получившиеся выражения:

$$

\frac{c_{1} \rho_{1} V_{1}\left(t_{\text {д }}-t_{x}\right)+c_{0} \rho_{0} V_{1}\left(t_{x}-t_{0}\right)}{t_{x}-t_{0}}=\frac{c_{1} \rho_{1} \cdot 2 V_{1}\left(t_{\text {д }}-t_{y}\right)+c_{0} \rho_{0} \cdot 2 V_{1}\left(t_{y}-t_{0}\right)}{t_{y}-t_{0}}

$$

Объём $V_{1}$ сократится. После алгебраических преобразований получим ответ:

$$

c_{1}=c_{0} \frac{\rho_{0}}{\rho_{1}} \frac{1}{\left(\frac{t_{\text {д }}-t_{x}}{t_{x}-t_{0}}-2 \frac{t_{\text {д }}-t_{y}}{t_{y}-t_{0}}\right)} \approx 920 \text { Дж/(кг}\cdot^{\circ}C) .

$$

Ответ $920 \text { Дж/(кг}\cdot^{\circ}C)$.