ЗСЭ в тепловых процессах

Задача 5 Условие Два куска льда массой по 50 г каждый при температуре - $6^{\circ} C$ трутся друг о друга в вакууме с помощью мотора, развивающего мощность 12 Вт. Через какое время лед растает ? Решение Механическая работа, выполняемая двигателем, идет на теплоту, необходимую для нагревания льда от $-6^{\circ} C$ до $0^{\circ}$ с и плавление: $A=Q_{1}+Q_{2}$: $$ \begin{gathered} N t=2 m c \Delta t+2 m \lambda \\ t=\frac{2 m(c \Delta t+\lambda)}{N} ; \quad t \approx 2993 с=50 \text { мин } \end{gathered} $$ Ответ $50 \text { мин}$. Задача 6 Условие Снежок, летящий со скоростью 20 м/с, ударяется в стену. Какая часть его расплавится, если температура окружающей среды $0^{\circ} C$, а вся кинетическая энергия превращается во внутреннюю ? Решение Пусть $m$ - полная масса снежка, а $\Delta m$ - масса расплавившейся части снежка. Тогда величину $\alpha$ следует искать по формуле: $$\alpha=\frac{\Delta m}{m} \quad (1)$$ В условии сказано, что вся кинетическая энергия превращается во внутреннюю, значит справедливо равенство: $$E=Q \quad (2)$$ Кинетическую энергию снежка массой $m$ до удара $E$ и количество теплоты $Q$, необходимое для плавления части снежка массой $\Delta m$, можно найти по формулам: $$ \begin{aligned} & E=\frac{m v^{2}}{2} \\ & Q=\lambda \Delta m \end{aligned} $$ Как известно, удельная теплота плавления льда $\lambda$ равна 330 кДж/кг. Тогда равенство (2) примет вид: $$ \frac{m v^{2}}{2}=\lambda \Delta m $$ Поделим обе части равенства на величину $m$, тогда: $$ \frac{v^{2}}{2}=\lambda \frac{\Delta m}{m} $$ Учитывая формулу (1): $$ \frac{v^{2}}{2}=\lambda \alpha $$ Откуда часть снежка $\alpha$, которая расплавится при ударе о стенку, можно найти по формуле: $$ \alpha=\frac{v^{2}}{2 \lambda} $$ Посчитаем численный ответ задачи: $$ \alpha=\frac{20^{2}}{2 \cdot 330 \cdot 10^{3}}=6 \cdot 10^{-4}=0,06 % $$ Ответ $\alpha =0,06 %$. Задача 7 Условие Свинцовая пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 100 м/с, попадает в деревянный брусок массой 1 кг, подвешенный на длинной нити. На сколько градусов нагрелась пуля, если $70 %$ выделенной при ударе теплоты пошло на её нагревание? Решение Так как в условии не говорится о том, что пуля пройдёт насквозь через деревянный брусок, значит всё-таки пуля застряла в бруске. Получается, что имеет место абсолютно неупругий удар (а это значит, что часть кинетической энергии перейдёт во внутреннюю). Пусть $u$ - скорость бруска после попадания (вместе с пулей). Запишем закон сохранения импульса (ЗСИ) в проекции на ось $x$: $$ m v=(m+M) u $$ Откуда: $$u=\frac{m v}{m+M} \quad (1)$$ Теперь запишем закон сохранения энергии (ЗСЭ): $$ \frac{m v^{2}}{2}=\frac{(m+M) u^{2}}{2}+Q $$ Подставим выражение (1) в полученное уравнение: $$ \begin{gathered} \frac{m v^{2}}{2}=\frac{(m+M) m^{2} v^{2}}{2(m+M)^{2}}+Q \\ \frac{m v^{2}}{2}=\frac{m^{2} v^{2}}{2(m+M)}+Q \end{gathered} $$ Выразим количество теплоты $Q$, выделившееся при ударе: $$\begin{gathered} Q=\frac{m v^{2}}{2}-\frac{m^{2} v^{2}}{2(m+M)}=\frac{m v^{2}(m+M)-m^{2} v^{2}}{2(m+M)} \\ Q=\frac{m M v^{2}}{2(m+M)} \quad (2) \end{gathered}$$ Обратите внимание, что лишь $\alpha$ часть количества теплоты $Q$ пошла на нагревание пули (остальная часть могла, например, пойти на нагревание бруска): $$Q_{1}=\alpha Q \quad (3)$$ Количество теплоты $Q_{1}$, необходимое для изменения температуры пули на величину $\Delta t$, также определим по формуле: $$Q_{1}=c m \Delta t \quad (4)$$ Удельная теплоёмкость свинца $c$ равна 130 Дж/(кг$\cdot^{\circ} C$). Удельная теплоёмкость свинца $c$ равна 130 Дж/(кг$\cdot^{\circ} C$). Учитывая (3) и (4), имеем: $$ c m \Delta t=\alpha Q $$ Подставим в полученное равенство выражение (2): $$ \begin{gathered} c m \Delta t=\frac{\alpha m M v^{2}}{2(m+M)} \\ c \Delta t=\frac{\alpha M v^{2}}{2(m+M)} \\ \Delta t=\frac{\alpha M v^{2}}{2 c(m+M)} \end{gathered} $$ Переведём массу пули $m$ в килограммы, а величину $\alpha$ - в доли единицы: $$ \begin{gathered} 10 \text { г }=0,01 \text { кг } \\ 70 %=0,7 \end{gathered} $$ Посчитаем численный ответ задачи: $$ \Delta t=\frac{0,7 \cdot 1 \cdot 100^{2}}{2 \cdot 130 \cdot(0,01+1)}=26,7^{\circ} C=26,7 К $$ Ответ $\Delta t=26,7 К$.