Солнечная система

Часть II: Небесная механика. Законы сохранения и параметры орбит небесных тел. l 0.35 Начнем с некоторой информации из геометрии, которая нам понадобиться для изучения произвольных орбит небесных тел, и прежде всего - обсудим основные характеристики эллипса. Эллипс можно рассматривать как «сплюснутую окружность» - расстояние от центра эллипса до его точек изменяется в пределах $b \leq r \leq a$, где $a$ и $b$ называют большой и малой полуосями эллипса (см. рисунок). Определяющим свойством эллипса является существование двух симметричных точек фокусов эллипса. Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух его фокусов есть величина постоянная для данного эллипса (легко заметить, что она равна длине большой оси, то есть $2 a$ )! Ясно, что если оба фокуса совпадут друг с другом (и с центром эллипса), то эллипс «вырождается» в окружность. Отличие орбиты от круговой («степень вытянутости») характеризуется величиной эксиентриситета орбиты $e \equiv \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$. Как мы знаем, Солнце находится в одном из фокусов эллиптической орбиты, по которой движутся тела Солнечной системы. На эллиптической орбите выделяют точку, в которой тело ближе всего к Солнцу - перигелий ( $P$ ) и точку, в которой оно дальше всего от Солнца - афелий $(A)$. Именно в этих точках сила притяжения не имеет касательной составляющей (поэтому в этих точках $a_{\tau}=0$ ). В остальных точках траектории сила гравитационного притяжения к Солнцу раскладывается на тангенциальную и нормальную компоненту, создавая соответствующую компоненту ускорения небесного тела. Кроме того, из определяющего свойства следует, что расстояния до этих точек удовлетворяют соотношениям: $$ \left\{\begin{array}{c} r_{P}+r_{A}=2 a \\ \sqrt{\left(a-r_{P}\right)^{2}+b^{2}} \end{array}=a\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=\frac{r_{P}+r_{A}}{2} \\ b=\sqrt{r_{P} r_{A}} \end{array}\right. $$ Например, расстояние между Землей и центром Солнца меняется от $r_{A} \approx 152,10$ млн. км (в афелии) до $r_{P} \approx 147,10$ млн. км (в перигелии). Следовательно, большая и малая полуоси земной орбиты равны $a=\frac{r_{A}+r_{P}}{2} \approx 149,60$ млн. км и $b=\sqrt{r_{A} r_{P}} \approx 149,58$ млн. км. При этом эксцентриситет орбиты Земли $e \approx 0,016$. Действительно, он очень мал (впрочем, и по значениям длин полуосей видно, что орбита весьма близка к круговой. Тем не менее радиус кривизны орбиты все же изменяется: с учетом того, что мы можем получить эллипс из окружности «сжатием» по одной из осей, можно установить, что радиус кривизны эллипса минимален на концах большой оси эллипса, где он равен $R_{\min }=\frac{b^{2}}{a}$, а максимальное значение радиуса кривизны достигается на концах малой оси, и $R_{\max }=\frac{a^{2}}{b}$. Основными физическими законами, описывающими движение небесного тела, являются его уравнение движения $m \vec{a}=-\frac{G m M}{r^{3}} \vec{r}$ и закон сохранения полной механической энергии $E \equiv \frac{m \vec{v}^{2}}{2}-\frac{G m M}{r}=$ const. Если использовать геометрическую информацию при записи уравнения для центростремительного ускорения небесного тела в точке B, лежащей на конце малой оси, то можно выразить его скорость в этой точке через длину большой полуоси: $$ m \frac{v_{B}^{2}}{R_{\max }}=m \frac{v_{B}^{2} b}{a^{2}}=F_{n}=\frac{G m M}{a^{2}} \frac{b}{a} \Rightarrow v_{B}^{2}=\frac{G M}{a} $$ С другой стороны, постоянная полная энергия тела на данной эллиптической орбите тоже может быть вычислена в точке B: $E=\frac{m v_{B}^{2}}{2}-\frac{G m M}{a}=-\frac{G M m}{2 a}$. Это соотношение очень напоминает соотношение для круговой орбиты (только на месте радиуса орбиты стоит длина большой полуоси). Мы видим, что на любой эллиптической (то есть на любой замкнутой орбите) полная механическая энергия небесного тела отрицательна, если принять за нулевое значение потенциальной энергии гравитационного притяжения тела к Солнцу ее значение на бесконечности. Кроме того, мы видим, что размер большой полуоси орбиты однозначно определяется энергией тела: $a=\frac{G M m}{2 \cdot(-E)}$. Но знание энергии не определяет орбиту однозначно. И здесь нам очень может помочь еще один закон сохранения. Речь идет о величине, о которой мы часто говорили при обсуждении свойств электронов в атомах - о моменте импульса. Для обсуждения этой величины вспомним о важной математической конструкции. Векторное произведение векторов: согласно геометрическому определению, это вектор $\vec{c}=[\vec{a} \times \vec{b}]$ перпендикулярный $\vec{a}$ и $\vec{b}$, модуль которого равен $|\vec{c}|=|\vec{a} \| \vec{b}| \sin (\gamma)($ нетрудно заметить, что численно модуль равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах). Из двух возможных направлений перпендикуляра «правильное» выбирается так, чтобы поворот от $\vec{a}$ к $\vec{b}$ при взгляде «навстречу $\vec{c}$ » был виден против часовой стрелке (обычно в математике именно такое направление поворота принимают за положительное). Интересная особенность векторного произведения - его «антикоммут...