Солнечная система: Часть 2

Видео

Конспект

Часть II: Небесная механика. Законы сохранения и параметры орбит небесных тел.

l0.35

Начнем с некоторой информации из геометрии, которая нам понадобиться для изучения произвольных орбит небесных тел, и прежде всего - обсудим основные характеристики эллипса.

Эллипс можно рассматривать как «сплюснутую окружность» - расстояние от центра эллипса до его точек изменяется в пределах $b \leq r \leq a$, где $a$ и $b$ называют большой и малой полуосями эллипса (см. рисунок). Определяющим свойством эллипса является существование двух симметричных точек фокусов эллипса. Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух его фокусов есть величина постоянная для данного эллипса (легко заметить, что она равна длине большой оси, то есть $2 a$ )! Ясно, что если оба фокуса совпадут друг с другом (и с центром эллипса), то эллипс «вырождается» в окружность. Отличие орбиты от круговой («степень вытянутости») характеризуется величиной эксиентриситета орбиты $e \equiv \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$. Как мы знаем, Солнце находится в одном из фокусов эллиптической орбиты, по которой движутся тела Солнечной системы. На эллиптической орбите выделяют точку, в которой тело ближе всего к Солнцу - перигелий ( $P$ ) и точку, в которой оно дальше всего от Солнца - афелий $(A)$. Именно в этих точках сила притяжения не имеет касательной составляющей (поэтому в этих точках $a_{\tau}=0$ ). В остальных точках траектории сила гравитационного притяжения к Солнцу раскладывается на тангенциальную и нормальную компоненту, создавая соответствующую компоненту ускорения небесного тела. Кроме того, из определяющего свойства следует, что расстояния до этих точек удовлетворяют соотношениям:

$$

\left\{\begin{array}{c}

r_{P}+r_{A}=2 a \\

\sqrt{\left(a-r_{P}\right)^{2}+b^{2}}

\end{array}=a\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}

a=\frac{r_{P}+r_{A}}{2} \\

b=\sqrt{r_{P} r_{A}}

\end{array}\right.

$$

Например, расстояние между Землей и центром Солнца меняется от $r_{A} \approx 152,10$ млн. км (в афелии) до $r_{P} \approx 147,10$ млн. км (в перигелии). Следовательно, большая и малая полуоси земной орбиты равны $a=\frac{r_{A}+r_{P}}{2} \approx 149,60$ млн. км и $b=\sqrt{r_{A} r_{P}} \approx 149,58$ млн. км. При этом эксцентриситет орбиты Земли $e \approx 0,016$. Действительно, он очень мал (впрочем, и по значениям длин полуосей видно, что орбита весьма близка к круговой. Тем не менее радиус кривизны орбиты все же изменяется: с учетом того, что мы можем получить эллипс из окружности «сжатием» по одной из осей, можно установить, что радиус кривизны эллипса минимален на концах большой оси эллипса, где он равен $R_{\min }=\frac{b^{2}}{a}$, а максимальное значение радиуса кривизны достигается на концах малой оси, и $R_{\max }=\frac{a^{2}}{b}$.

Основными физическими законами, описывающими движение небесного тела, являются его уравнение движения $m \vec{a}=-\frac{G m M}{r^{3}} \vec{r}$ и закон сохранения полной механической энергии $E \equiv \frac{m \vec{v}^{2}}{2}-\frac{G m M}{r}=$ const. Если использовать геометрическую информацию при записи уравнения для центростремительного ускорения небесного тела в точке B, лежащей на конце малой оси, то можно выразить его скорость в этой точке через длину большой полуоси:

$$

m \frac{v_{B}^{2}}{R_{\max }}=m \frac{v_{B}^{2} b}{a^{2}}=F_{n}=\frac{G m M}{a^{2}} \frac{b}{a} \Rightarrow v_{B}^{2}=\frac{G M}{a}

$$

С другой стороны, постоянная полная энергия тела на данной эллиптической орбите тоже может быть вычислена в точке B: $E=\frac{m v_{B}^{2}}{2}-\frac{G m M}{a}=-\frac{G M m}{2 a}$. Это соотношение очень напоминает соотношение для круговой орбиты (только на месте радиуса орбиты стоит длина большой полуоси). Мы видим, что на любой эллиптической (то есть на любой замкнутой орбите) полная механическая энергия небесного тела отрицательна, если принять за нулевое значение потенциальной энергии гравитационного притяжения тела к Солнцу ее значение на бесконечности.

Кроме того, мы видим, что размер большой полуоси орбиты однозначно определяется энергией тела: $a=\frac{G M m}{2 \cdot(-E)}$. Но знание энергии не определяет орбиту однозначно. И здесь нам очень может помочь еще один закон сохранения. Речь идет о величине, о которой мы часто говорили при обсуждении свойств электронов в атомах - о моменте импульса.

Для обсуждения этой величины вспомним о важной математической конструкции.

Векторное произведение векторов: согласно геометрическому определению, это вектор $\vec{c}=[\vec{a} \times \vec{b}]$ перпендикулярный $\vec{a}$ и $\vec{b}$, модуль которого равен $|\vec{c}|=|\vec{a} \| \vec{b}| \sin (\gamma)($ нетрудно заметить, что численно модуль равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах). Из двух возможных направлений перпендикуляра «правильное» выбирается так, чтобы поворот от $\vec{a}$ к $\vec{b}$ при взгляде «навстречу $\vec{c}$ » был виден против часовой стрелке (обычно в математике именно такое направление поворота принимают за положительное). Интересная особенность векторного произведения - его «антикоммутативность»: $[\vec{a} \times \vec{b}]=-[\vec{b} \times \vec{a}]$. В действительности многие мнемонические правила выбора направлений в физике (правило левой руки, правило буравчика и т.д.) связаны именно с определением направления векторного произведения. Исходя из этого определения, можно доказать интересное свойство векторного произведения (это полезное упражнение для того, чтобы разобраться со свойствами векторного произведения как математической конструкции). Его называют «правилом bac минус cab»: для любых трех векторов двойное векторное произведение

$$

[\vec{a} \times[\vec{b} \times \vec{c}]]=\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})

$$

Еще одна интересная конструкция - это смешанное произведение трех векторов $(\vec{a} \vec{b} \vec{c}) \equiv(\vec{a} \cdot[\vec{b} \times \vec{c}])$. Геометрический смысл этой конструкции оказывается довольно ясным: модуль этой величины равен произведению площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{b}$ и $\vec{c}$, на длину проекции вектора $\vec{a}$ на перпендикуляр к плоскости этого параллелограмма. Это, конечно же, объем параллелепипеда, построенного на всех трех векторах. Поэтому ясно, что при перестановке векторов в векторном произведении его модуль не изменяется, и может измениться только знак. В скалярном произведении знак при перестановке сомножителей не меняется, а в векторном - изменяется на противоположный. Поэтому, как легко можно проверить, при «циклической» перестановке сомножителей смешанное произведение не изменяется - ни по величине, ни по знаку:

$$

(\vec{a} \vec{b} \vec{c})=(\vec{b} \vec{c} \vec{a})=(\vec{c} \vec{a} \vec{b})=-(\vec{a} \vec{c} \vec{b})=-(\vec{c} \vec{b} \vec{a})=-(\vec{b} \vec{a} \vec{c}) .

$$

Векторное произведение можно использовать и для определения момента импульса материальной точки. Наиболее общее определение этой величины состоит в том, чтобы считать ее векторным произведением координаты и импульса данной точки: $\vec{L} \equiv[\vec{r} \times \vec{p}]$. Используя определение импульса, можно записать уравнение движения материальной точки в виде $\frac{d \vec{p}}{d t}=\vec{F}$ (скорость изменения импульса равна силе, действующей на материальную точку). Но тогда скорость изменения момента импульса равна моменту результирующей сильl, если его тоже определить как векторное произведение координаты на силу:

$$

\frac{d \vec{L}}{d t}=\left[\frac{d \vec{r}}{d t} \times \vec{p}\right]+\left[\vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{d t}\right]=[\vec{r} \times \vec{F}] \equiv \vec{M} .

$$

Здесь мы воспользовались тем, что, согласно определению, векторное произведение сонаправленных векторов всегда равно нулю ( $\left[\frac{d \vec{r}}{d t} \times \vec{p}\right]=[\vec{v} \times \vec{p}]=0$ ). Если момент силы равен нулю, то момент импульса не изменяется. И теперь нам должно стать ясно, что у небесных тел момент импульса сохраняется, так как сила притяжения тела к Солнцу всегда направлена против радиус-вектора!

Впрочем, если вспомнить, что небесное тело всегда движется в одной плоскости, проходящей через центр Солнца, то можно использовать более простую конструкцию. Легко заметить, что в этом случае не только вектор координаты материальной точки, но и вектор ее импульса и вектор действующей на нее силы лежат в этой плоскости. А вектора момента импульса и момента силы перпендикулярны этой плоскости и параллельны друг другу. Тогда вместо использования векторов этих величин можно ограничится только их проекцией на ось, перпендикулярную плоскости движения, и получить более простой способ их вычисления. Правда, этот метод пригоден только для плоского движения. В этом случае:

Момент импульса L материальной точки относительно оси, проходящей через точку $O$ в плоскости движения точки, равен произведению величины импульса на его плечо, взятое со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от направления вращения $L= \pm|\vec{p}| \cdot l_{\perp}$.

Отметим, что «плечо» импульса определяется точно так же, как плечо силы в определении момента силы: плечо вектора - расстояние от оси до прямой, идущей вдоль данного вектора. Но и в этом случае скорость изменения момента импульса равна моменту силы.

А ведь момент импульса, как нетрудно заметить, в точности равен секторной скорости, умноженной на удвоенную массу точки! Значит II закон Кеплера есть геометрическая форма закона сохранения момента импульса, справедливого для всех небесных тел. Таким образом, мы вывели этот закон из законов механики. Кроме того, момент импульса, как сохраняющуюся величину, можно вычислить в любой точке траектории. Вычислим его в точке В (на конце малой полуоси):

$$

L=m v_{B} \cdot b=m b \sqrt{\frac{G M}{a}} \Rightarrow b=L \sqrt{\frac{1}{m} \frac{a}{G m M}}=\frac{L}{\sqrt{2 m \cdot(-E)}} .

$$