Линейная плотность: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2

Условие: В пустой горизонтальный цилиндр с подвижным поршнем через штуцер Ш поступает пена с постоянным массовым расходом \mu = 0{,}1 кг/с. График зависимости средней плотности \rho_{ср} содержимого цилиндра от времени t приведен на рисунке. С какой максимальной и минимальной скоростью двигался поршень в процессе заполнения, если его площадь равна S = 1 дм ^2 ? За какое время \tau объем содержимого цилиндра увеличился до V=7 дм ^3 ?

2

Решение:

1) На первом участке графика ( t от 0 до 5 с): \rho_1 = 0{,}1 г/см ^3 = const. t_1 = 5 с. Масса пены: m_1 = \mu \cdot t . Объем пены: V_1 = \frac{m_1}{\rho_1} = \frac{\mu t}{\rho_1} . Скорость поршня \vartheta_1 : V_1 = S \cdot \vartheta_1 \cdot t \vartheta_1 = \frac{V_1}{S \cdot t} = \frac{\mu t}{\rho_1 S t} = \frac{\mu}{\rho_1 S} \vartheta_1 = \frac{100\,г/с}{0{,}1\,г/см^3 \cdot 100\,см^2} = 10\,см/с В конце участка V(5c) = 100 \cdot 10 \cdot 5 = 5000 см ^3 .

2) На втором участке ( t от 5 до 15 с) плотность растет линейно. Уравнение прямой: проходит через (5; 0{,}1) и (15; 0{,}3) . k = \frac{0{,}3 - 0{,}1}{15 - 5} = \frac{0{,}2}{10} = 0{,}02\,г/см^3\cdotс Значит, \rho_{ср} = 0{,}02 \cdot t .

Объем на этом участке: V_2 = \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{\mu t}{\rho(t)} = \frac{\mu t}{0{,}02 t} = \frac{\mu}{0{,}02} = const V_2 = \frac{100}{0{,}02} = 5000\,см^3 Так как объем постоянен, скорость поршня \vartheta_2 = 0 .

3) На 3-м участке ( t > 15 с): \rho_3 = 0{,}3 г/см ^3 = const. Аналогично первому участку: \vartheta_3 = \frac{\mu}{\rho_3 S} = \frac{100\,г/с}{0{,}3\,г/см^3 \cdot 100\,см^2} = 3{,}3\,см/с

4) Время \tau , когда V = 7000 см ^3 . Сравним с объемами: Участок 1: до V = 5000 см ^3 . Участок 2: V = 5000 см ^3 (не меняется). Участок 3: V растет от 5000. Значит, нужное время на 3-м участке. Общее уравнение: V = \frac{m}{\rho_{ср}} = \frac{\mu \tau}{\rho_3} . \tau = \frac{V \cdot \rho_3}{\mu} = \frac{7000\,см^3 \cdot 0{,}3\,г/см^3}{100\,г/с} = \frac{2100}{100} = 21\,с

Ответ: \vartheta_{min} = 0 (на 2-м участке); \vartheta_{max} = 10 см/с (на 1-м участке); \tau = 21 с (на 3-м участке)