Линейная плотность

Задача 2 Условие: В пустой горизонтальный цилиндр с подвижным поршнем через штуцер Ш поступает пена с постоянным массовым расходом $\mu = 0{,}1$ кг/с. График зависимости средней плотности $\rho_{ср}$ содержимого цилиндра от времени $t$ приведен на рисунке. С какой максимальной и минимальной скоростью двигался поршень в процессе заполнения, если его площадь равна $S = 1$ дм$^2$? За какое время $\tau$ объем содержимого цилиндра увеличился до $V=7$ дм$^3$? Решение: 1) На первом участке графика ($t$ от 0 до 5 с): $\rho_1 = 0{,}1$ г/см$^3$ = const. $t_1 = 5$ с. Масса пены: $m_1 = \mu \cdot t$. Объем пены: $V_1 = \frac{m_1}{\rho_1} = \frac{\mu t}{\rho_1}$. Скорость поршня $\vartheta_1$: $$ V_1 = S \cdot \vartheta_1 \cdot t $$ $$ \vartheta_1 = \frac{V_1}{S \cdot t} = \frac{\mu t}{\rho_1 S t} = \frac{\mu}{\rho_1 S} $$ $$ \vartheta_1 = \frac{100\,г/с}{0{,}1\,г/см^3 \cdot 100\,см^2} = 10\,см/с $$ В конце участка $V(5c) = 100 \cdot 10 \cdot 5 = 5000$ см$^3$. 2) На втором участке ($t$ от 5 до 15 с) плотность растет линейно. Уравнение прямой: проходит через $(5; 0{,}1)$ и $(15; 0{,}3)$. $$ k = \frac{0{,}3 - 0{,}1}{15 - 5} = \frac{0{,}2}{10} = 0{,}02\,г/см^3\cdotс $$ Значит, $\rho_{ср} = 0{,}02 \cdot t$. Объем на этом участке: $$ V_2 = \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{\mu t}{\rho(t)} = \frac{\mu t}{0{,}02 t} = \frac{\mu}{0{,}02} = const $$ $$ V_2 = \frac{100}{0{,}02} = 5000\,см^3 $$ Так как объем постоянен, скорость поршня $\vartheta_2 = 0$. 3) На 3-м участке ($t > 15$ с): $\rho_3 = 0{,}3$ г/см$^3$ = const. Аналогично первому участку: $$ \vartheta_3 = \frac{\mu}{\rho_3 S} = \frac{100\,г/с}{0{,}3\,г/см^3 \cdot 100\,см^2} = 3{,}3\,см/с $$ 4) Время $\tau$, когда $V = 7000$ см$^3$. Сравним с объемами: Участок 1: до $V = 5000$ см$^3$. Участок 2: $V = 5000$ см$^3$ (не меняется). Участок 3: $V$ растет от 5000. Значит, нужное время на 3-м участке. Общее уравнение: $V = \frac{m}{\rho_{ср}} = \frac{\mu \tau}{\rho_3}$. $$ \tau = \frac{V \cdot \rho_3}{\mu} = \frac{7000\,см^3 \cdot 0{,}3\,г/см^3}{100\,г/с} = \frac{2100}{100} = 21\,с $$ Ответ: $\vartheta_{min} = 0$ (на 2-м участке); $\vartheta_{max} = 10$ см/с (на 1-м участке); $\tau = 21$ с (на 3-м участке)