Равномерное движение. Средняя скорость

Равномерное движение. Средняя скорость Задача 2 Условие Автомобиль проехал треть пути со скоростью $v = 46 \ км/ч$. Затем четверть времени всего движения он ехал со скоростью, в полтора раза превышающей среднюю на всём пути. На последнем участке автомобиль ехал со скоростью $2 v$. Определите максимальную скорость автомобиля. Решение Для второго участка $$L_2 = \frac{t}{4} \cdot \frac{3}{2} \frac{L}{t} = \frac{3}{8} L.$$ Значит для третьего участка: $$L_3 = L - L_1 - L_2 = L(1 - \frac{1}{3} - \frac{3}{8}) = \frac{7}{24}L.$$ По формуле средней скорости: $$v_{ср}} = \frac{L}{\frac{L}{3v} + \frac{L}{4v_{ср}}} + \frac{7L}{48v}} = \frac{1}{\frac{16v_{ср}} + 12v + 7v_{ср}}}{48vv_{ср}}}} = \frac{48vv_{ср}}}{23v_{ср}} + 12v}.$$ Упрощая $$23v_{ср}}^2 + 12vv_{ср}} = 48vv_{ср}} \ \Rightarrow \ 23v_{ср}} + 12v = 48v \ \Rightarrow \ v_{ср}} = \frac{36v}{23} = 72 \ км/ч.$$ Значит $$ \begin{cases} v_1 = 46 \ км/ч \\ v_2 = 1.5 v_{ср}} = 108 \ км/ч \\ v_3 = 2v = 92 \ км/ч \end{cases} $$ Значит ответ 108 км/ч. Ответ 108 км/ч. Задача 3 Условие Велосипедист проехал часть пути со скоростью на $\Delta v=15$ км/ч большей, чем средняя на всем пути, а затем оставшуюся часть пути (в 4 раза меньшую, чем первая) со скоростью на $\Delta v$ меньшей, чем средняя. Найдите среднюю скорость велосипедиста. Ответ выразите в км/ч, округлите до целых. Решение Из условия $$\begin{cases} L_1 = 0.8 L \\ L_2 = 0.2 L \end{cases}$$ Из формулы для средней скорости $$ v_{ср}} = \frac{L}{\frac{0.8L}{v_{ср}} + \Delta v} + \frac{0.2L}{v_{ср}} - \Delta v}} = \frac{v_{ср}}^2 - (\Delta v)^2}{0.8 v_{ср}} - 0.8 \Delta v + 0.2 v_{ср}} + 0.2 \Delta v}. $$ Упрощая $$ v_{ср}}^2 - 0.6v_{ср}}\Delta v = v_{ср}}^2 - (\Delta v)^2 \ \Rightarrow \ \Delta v = 0.6 v_{ср}} \ \Rightarrow \ v_{ср}} = 25 \ км/ч. $$ Ответ $25 \ км/ч.$ Задача 4 Условие Спортсмен начал забег по прямой и первые 10 м бежал со скоростью $10 \ м/с}$, следующие 10 м со скоростью $9 \ м/с}$, следующие 10 м со скоростью $8 \ м/с}$, и так далее. Сколько времени длился забег до остановки? С какой средней скоростью спортсмен пробежал первую половину дистанции? Решение $$t = (1 + \frac{10}{9} + \frac{10}{8} + \frac{10}{7} + ... + \frac{10}{1}) \ с = 29.29 \ с.$$ Из формулы для средней скорости $$ v_{ср}} = \frac{50 \ м}{(1 + \frac{10}{9} + \frac{10}{8} + \frac{10}{7} + \frac{10}{6}) \ с} = 7.74 \ м/с}. $$ Ответ $29.29 \ с$; $7.74 \ м/с}.$