Равномерное движение. Средняя скорость: Часть 2

Задача 2

Условие

Автомобиль проехал треть пути со скоростью v = 46 \ км/ч . Затем четверть времени всего движения он ехал со скоростью, в полтора раза превышающей среднюю на всём пути. На последнем участке автомобиль ехал со скоростью 2 v . Определите максимальную скорость автомобиля.

Решение

Для второго участка

L_2 = \frac{t}{4} \cdot \frac{3}{2} \frac{L}{t} = \frac{3}{8} L. Значит для третьего участка:

L_3 = L - L_1 - L_2 = L(1 - \frac{1}{3} - \frac{3}{8}) = \frac{7}{24}L. По формуле средней скорости:

v_{ср} = \frac{L}{\frac{L}{3v} + \frac{L}{4v_{ср}} + \frac{7L}{48v}} = \frac{1}{\frac{16v_{ср} + 12v + 7v_{ср}}{48vv_{ср}}} = \frac{48vv_{ср}}{23v_{ср} + 12v}. Упрощая

23v_{ср}^2 + 12vv_{ср} = 48vv_{ср} \ \Rightarrow \ 23v_{ср} + 12v = 48v \ \Rightarrow \ v_{ср} = \frac{36v}{23} = 72 \ км/ч. Значит

\begin{cases}

v_1 = 46 \ \text{км/ч} \\

v_2 = 1.5 v_{ср} = 108 \ \text{км/ч} \\

v_3 = 2v = 92 \ \text{км/ч}

\end{cases} Значит ответ 108 км/ч.

Ответ 108 км/ч.

Задача 3

Условие

Велосипедист проехал часть пути со скоростью на \Delta v=15 км/ч большей, чем средняя на всем пути, а затем оставшуюся часть пути (в 4 раза меньшую, чем первая) со скоростью на \Delta v меньшей, чем средняя. Найдите среднюю скорость велосипедиста. Ответ выразите в км/ч, округлите до целых.

Решение

Из условия

\begin{cases}

L_1 = 0.8 L \\

L_2 = 0.2 L

\end{cases} Из формулы для средней скорости

v_{ср} = \frac{L}{\frac{0.8L}{v_{ср} + \Delta v} + \frac{0.2L}{v_{ср} - \Delta v}} = \frac{v_{ср}^2 - (\Delta v)^2}{0.8 v_{ср} - 0.8 \Delta v + 0.2 v_{ср} + 0.2 \Delta v}. Упрощая

v_{ср}^2 - 0.6 v_{ср}\Delta v = v_{ср}^2 - (\Delta v)^2 \ \Rightarrow \ \Delta v = 0.6 v_{ср} \ \Rightarrow \ v_{ср} = 25 \ км/ч. Ответ 25 \ км/ч.

Задача 4

Условие

Спортсмен начал забег по прямой и первые 10 м бежал со скоростью 10 \ м/с , следующие 10 м со скоростью 9 \ м/с , следующие 10 м со скоростью 8 \ м/с , и так далее. Сколько времени длился забег до остановки? С какой средней скоростью спортсмен пробежал первую половину дистанции?

Решение

t = (1 + \frac{10}{9} + \frac{10}{8} + \frac{10}{7} + ... + \frac{10}{1}) \ с = 29.29 \ с. Из формулы для средней скорости

v_{ср} = \frac{50 \ м}{(1 + \frac{10}{9} + \frac{10}{8} + \frac{10}{7} + \frac{10}{6}) \ с} = 7.74 \ м/с. Ответ 29.29 \ с ; 7.74 \ м/с.