Динамика и кинематика движения по окружности

Динамика и кинематика движения по окружности Задача 4 Условие Три точечные массы $m_1 = m, \ m_2 = m, \ m_3 = m$ связаны нитями длины $l$ и вращаются с угловой скоростью $\omega$ вокруг центра масс, сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей. Решение Расстояние от центра масс до любого из вершин треугольника $$ l_ц = \frac{l}{2\cos (30^{\circ})} = \frac{l}{\sqrt{3}}. $$ Тогда из кинематических соображений $$ \omega^2 \frac{l}{\sqrt{3}} = a_n. $$ Откуда (соединяя со вторым законом Ньютона): $$ 2 T \cos (30^{\circ}) = m a_n \ \Rightarrow \ T = \frac{m \omega^2 l}{3}. $$ Ответ $T = \frac{m \omega^2 l}{3}.$ Задача 5 Условие При какой продолжительности суток тела на экваторе Земли весили бы в два раза меньше, чем на полюсе? Решение Пусть $m$ - масса тела, тогда по второму закону Ньютона для экватора $$ m \omega^2 R=m g-N_1, \quad \omega=\frac{2 \pi}{T}, $$ где $T$ - искомая величина, $N_1$ - нормальная сила реакции опоры на экваторе, $R$ - радиус Земли на экваторе. Так как на полюсе радиус вращения будет равен 0 (тело находится вблизи оси вращения), то второй закон Ньютона запишется в виде $$ m g=N_2. $$ Так как по третьему закону вес тела равен силе реакции опоры и по условию $$ N_2=2 N_1 \Leftrightarrow 2 m g-2 m \omega^2 R=m g \rightarrow g=2 \omega^2 R. $$ Тогда $$ T=2 \pi \sqrt{\frac{2 R}{g}} \approx 2 \text { часа }. $$ Ответ $2 \text { часа }.$ Задача 6 Условие При какой продолжительности суток на Земле камень, лежащий на широте $\varphi=60^{\circ}$, оторвётся от поверхности Земли? Решение Пусть $m$ - масса тела, тогда по второму закону Ньютона для точки на широте $60^{\circ}$. $$ m \omega^2 r = m g \cos (60^{\circ}) - N \cos (60^{\circ}), \quad \omega=\frac{2 \pi}{T}, $$ где $T$ - искомая величина, $N$ - вес тела, $r$ - радиус обращения точки, равный $R \cos (60^{\circ})$. По условию $N = 0,$ значит, получаем $$ \omega^2 R = g \ \Rightarrow \ \omega = \sqrt{\frac{g}{R}}. $$ Из определения периода, получаем: $$ T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}. $$ Ответ $2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}.$