Динамика и кинематика движения по окружности: Часть 2

Задача 4

Условие

Три точечные массы m_1 = m, \ m_2 = m, \ m_3 = m связаны нитями длины l и вращаются с угловой скоростью \omega вокруг центра масс, сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей.

Решение

Расстояние от центра масс до любого из вершин треугольника

l_ц = \frac{l}{2\cos (30^{\circ})} = \frac{l}{\sqrt{3}}. Тогда из кинематических соображений

\omega^2 \frac{l}{\sqrt{3}} = a_n. Откуда (соединяя со вторым законом Ньютона):

2 T \cos (30^{\circ}) = m a_n \ \Rightarrow \ T = \frac{m \omega^2 l}{3}. 3с.5

Ответ T = \frac{m \omega^2 l}{3}.

Задача 5

Условие

При какой продолжительности суток тела на экваторе Земли весили бы в два раза меньше, чем на полюсе?

Решение

Пусть m - масса тела, тогда по второму закону Ньютона для экватора

m \omega^2 R=m g-N_1, \quad \omega=\frac{2 \pi}{T}, где T - искомая величина, N_1 - нормальная сила реакции опоры на экваторе, R - радиус Земли на экваторе.

Так как на полюсе радиус вращения будет равен 0 (тело находится вблизи оси вращения), то второй закон Ньютона запишется в виде

m g=N_2. Так как по третьему закону вес тела равен силе реакции опоры и по условию

N_2=2 N_1 \Leftrightarrow 2 m g-2 m \omega^2 R=m g \rightarrow g=2 \omega^2 R. Тогда

T=2 \pi \sqrt{\frac{2 R}{g}} \approx 2 \text { часа }. Ответ 2 \text { часа }.

Задача 6

Условие

При какой продолжительности суток на Земле камень, лежащий на широте \varphi=60^{\circ} , оторвётся от поверхности Земли?

Решение

Пусть m - масса тела, тогда по второму закону Ньютона для точки на широте 60^{\circ} .

m \omega^2 r = m g \cos (60^{\circ}) - N \cos (60^{\circ}), \quad \omega=\frac{2 \pi}{T}, где T - искомая величина, N - вес тела, r - радиус обращения точки, равный R \cos (60^{\circ}) .

По условию N = 0, значит, получаем

\omega^2 R = g \ \Rightarrow \ \omega = \sqrt{\frac{g}{R}}. Из определения периода, получаем:

T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}. Ответ 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}.