Баллистика. Координаты: Часть 2
Физика, 9 класс
Баллистика. Координаты
Задача 4
Условие
Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи под углом \alpha и \beta к горизонту с одинаковой начальной скоростью v . На каком расстоянии от отверстия по горизонтали струи пересекутся?
Решение
Условие пересечения это равенство удалений от начальной точки по вертикали и горизонтали:
\begin{cases}
vt_1 \sin \alpha - \frac{gt_1^2}{2} = v t_2 \sin \beta - \frac{gt_2^2}{2} \\
L = vt_1 \cos \alpha \\
L = vt_2 \cos \beta
\end{cases} \begin{cases}
vt_1 \sin \alpha - \frac{gt_1^2}{2} = v t_2 \sin \beta - \frac{gt_2^2}{2} \\
\\
\frac{L}{v \cos \alpha} = t_1 \\
\\
\frac{L}{v \cos \beta} = t_2
\end{cases} Подставляя времена:
tg \alpha - \frac{gL}{2 v^2 \cos^2 \alpha} = tg \beta - \frac{gL}{2 v^2 \cos^2 \beta}. Откуда
L = \frac{2v^2}{g (tg \beta + tg \alpha)} . Ответ L = \frac{2v^2}{g (tg \beta + tg \alpha)} .
Задача 5
Условие
Плоский склон горы образует с горизонтом угол \alpha=30^{\circ} . Из миномёта, расположенного на склоне, производят выстрел под таким углом \varphi к поверхности склона, что продолжительность (по времени) полёта мины наибольшая. Мина падает на склон на расстоянии S=0.8 км от точки старта.
1. Под каким углом \varphi к поверхности склона произведён выстрел?
2. Найдите величину v_0 начальной скорости мины.
Ускорение свободного падения g=10 \ м/с^2 . Сопротивлением воздуха пренебрежимо мало.
Решение
Пусть ось X направлена вдоль наклонной плоскости вверх, 0 по оси X совмещён с положением миномёта, ось Y направлена перпендикулярно наклонной плоскости вверх, 0 по оси Y совмещён с положением миномёта.
Понятно, что можно записать законы движения в проекции на соответствующие оси:
\pm S = v_{0x} t - g \sin \alpha \frac{t^2}{2}. При этом
0 = v_{0y} t - g \cos \alpha \frac{t^2}{2} \ \Rightarrow \ t = \frac{2v_{0y}}{g \cos \alpha}. По условию время полёта наибольшее возможное, значит v_{0y} наибольшее возможное. Это возможно, когда v_{0y} = v_0, иначе говоря \varphi = \pi/2. Значит v_{0x} = 0. Подставляя выражение для времени в первое уравнение, получаем
S = tg \alpha \frac{2v_0^2}{g \cos \alpha} \ \Rightarrow \ v_0 = \sqrt{\frac{gS \cos \alpha}{2tg \alpha}} \approx 77.5 \ м/с. Ответ \varphi = \pi/2 ; v_0 \approx 77.5 \ м/с.
Задача 7
Условие
Под каким углом \alpha к горизонтали брошен камень, если в верхней точке траектории он был виден с места броска под углом \beta к горизонтали? Влиянием воздуха на движение камня пренебречь.
Решение
Из условия следует, что
tg \beta = \frac{2H}{L}, где H это наибольшая высота подъёма камня, а L это полная дальность его полёта. Иначе говоря
tg \beta = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin 2 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{2 \cos \alpha} \ \Rightarrow \ 2 tg \beta = tg \alpha. Ответ 2 tg \beta = tg \alpha.