Баллистика. Координаты

Баллистика. Координаты Задача 4 Условие Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи под углом $\alpha$ и $\beta$ к горизонту с одинаковой начальной скоростью $v$. На каком расстоянии от отверстия по горизонтали струи пересекутся? Решение Условие пересечения это равенство удалений от начальной точки по вертикали и горизонтали: $$ \begin{cases} vt_1 \sin \alpha - \frac{gt_1^2}{2} = v t_2 \sin \beta - \frac{gt_2^2}{2} \\ L = vt_1 \cos \alpha \\ L = vt_2 \cos \beta \end{cases} $$ $$ \begin{cases} vt_1 \sin \alpha - \frac{gt_1^2}{2} = v t_2 \sin \beta - \frac{gt_2^2}{2} \\ \\ \frac{L}{v \cos \alpha} = t_1 \\ \\ \frac{L}{v \cos \beta} = t_2 \end{cases} $$ Подставляя времена: $$ tg \alpha - \frac{gL}{2 v^2 \cos^2 \alpha} = tg \beta - \frac{gL}{2 v^2 \cos^2 \beta}. $$ Откуда $$ L = \frac{2v^2}{g (tg \beta + tg \alpha)} . $$ Ответ $L = \frac{2v^2}{g (tg \beta + tg \alpha)} .$ Задача 5 Условие Плоский склон горы образует с горизонтом угол $\alpha=30^{\circ}$. Из миномёта, расположенного на склоне, производят выстрел под таким углом $\varphi$ к поверхности склона, что продолжительность (по времени) полёта мины наибольшая. Мина падает на склон на расстоянии $S=0.8$ км от точки старта. 1. Под каким углом $\varphi$ к поверхности склона произведён выстрел? 2. Найдите величину $v_0$ начальной скорости мины. Ускорение свободного падения $g=10 \ м/с}^2$. Сопротивлением воздуха пренебрежимо мало. Решение Пусть ось $X$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх, 0 по оси $X$ совмещён с положением миномёта, ось $Y$ направлена перпендикулярно наклонной плоскости вверх, 0 по оси $Y$ совмещён с положением миномёта. Понятно, что можно записать законы движения в проекции на соответствующие оси: $$ \pm S = v_{0x} t - g \sin \alpha \frac{t^2}{2}. $$ При этом $$ 0 = v_{0y} t - g \cos \alpha \frac{t^2}{2} \ \Rightarrow \ t = \frac{2v_{0y}}{g \cos \alpha}. $$ По условию время полёта наибольшее возможное, значит $v_{0y}$ наибольшее возможное. Это возможно, когда $v_{0y} = v_0,$ иначе говоря $\varphi = \pi/2.$ Значит $v_{0x} = 0.$ Подставляя выражение для времени в первое уравнение, получаем $$ S = tg \alpha \frac{2v_0^2}{g \cos \alpha} \ \Rightarrow \ v_0 = \sqrt{\frac{gS \cos \alpha}{2tg \alpha}} \approx 77.5 \ м/с}. $$ Ответ $\varphi = \pi/2$; $v_0 \approx 77.5 \ м/с}.$ Задача 7 Условие Под каким углом $\alpha$ к горизонтали брошен камень, если в верхней точке траектории он был виден с места броска под углом $\beta$ к горизонтали? Влиянием воздуха на движение камня пренебречь. Решение Из условия следует, что $$tg \beta = \frac{2H}{L},$$ где $H$ это наибольшая высота подъёма камня, а $L$ это полная дальность его полёта. Иначе говоря $$tg \beta = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin 2 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{2 \cos \alpha} \ \Rightarrow \ 2 tg \beta = tg \alpha.$$ Ответ $2 tg \beta = tg \alpha.$