Гидрокинематика и гидродинамика

Гидрокинематика и гидродинамика Задача 5 Условие В сосуд льется вода, причем за единицу времени наливается объем воды $V_t=0.2 \ л/с$. Каким должен быть диаметр $d$ отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне $h=8.3 \ см$? Решение Чтобы вода в сосуде была на постоянном уровне, необходимо, чтобы за одинаковые промежутки времени втекало и вытекало одинаковое количество воды. $$V_t=\frac{V}{t}=\frac{l S}{t}=v S,$$ отсюда $$v=\frac{V_{t}}{S}.$$ Т.к. $$S=\frac{\pi d^2}{4}$$ это площадь поперечного сечения отверстия, то скорость вытекания жидкости $$v=\frac{4 V_t}{\pi d^2}.$$ Из уравнения Бернулли $$\frac{\rho v^2}{2}=\rho g h,$$ отсюда $$v=\sqrt{2 g h}.$$ Тогда $$\sqrt{2 g h}=\frac{4 V_t}{\pi d^2};$$ $$d^2=\frac{4 V_1}{\pi \sqrt{2 g h}};$$ $$d=\sqrt{\frac{4 V_t}{\pi \sqrt{2 g h}}}=1.4 \ см.$$ Ответ $d=1.4 \ см.$ Задача 6 Условие Какое давление $p$ создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вылетает из него со скоростью $v=25 \ м/с$? Плотность краски $\rho=0.8 \cdot 10^3 \ кг/м^3$. Решение 6 Уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости $$p+\frac{\rho v^2}{2}+\rho g h= const.$$ В нашем случае при $h=0$, $$p=\frac{\rho v^2}{2}=250 кПа.$$ Ответ $p=250 кПа.$ Задача 7 Условие По горизонтальный трубе АВ течет жидкость. Разность уровней этой жидкости в трубах $a$ и $b$ равна $\Delta h=10 см$. Диаметры трубок $a$ и $b$ одинаковы. Найти скорость $v$ течен жидкости в трубе $A B$. Решение Т.к. диаметры трубок $D_a=D_b$, площади поперечного сечения $S_a=S_b$. В силу неразрывности струи $$v_a S_a=v_b S_b.$$ Подставляя $v_a=v_b=v$. По формуле Торричелли $$\rho g a+\frac{\rho v^2}{2} = \rho g b,$$ отсюда $$v^2 / 2=g b-g a=g(b-a).$$ Т.к. $b-a=\Delta h$, то $v^2=2 g \Delta h$ и $$v=\sqrt{2 g \Delta h}=1.4 \ м/с.$$ Ответ $v=1.4 \ м/с.$ Задача 8 Условие Воздух продувается через трубку $A B$. За единицу времени через трубку $A B$ протекает объем воздуха $V_t=5$ л/мин. Площадь поперечного сечения широкой части трубки равна $S_1=2 \ см^2$, а узкой части трубки равна $S_2=0.5 \ см^2$. Найти разность уровней $\Delta h$ воды, налитой в трубку $a b c$. Плотность воздуха $\rho=1.32 \ кг/м^3$. Решение Объем воздуха, протекающий за единицу времени через трубку $AB$ $$V_t=\frac{V}{t}=\frac{l S}{t}=v S,$$ отсюда $$v=\frac{V_{t}}{S},$$ где $l$ это длина струи, $t$ - время, $v=l / t$ - скорость движения воздуха. $$v_1=\frac{V_t}{S_1}; \quad v_2=\frac{V_t}{S_2}; \quad V_t=8.33 \cdot 10^{-6} \ м/с.$$ из формулы Торричелли имеем $$\frac{\rho_{воз} v_1^2}{2}+\rho_{вод} g \Delta h=\frac{\rho_{воз} v_2^2}{2},$$ откуда $$\Delta h=\frac{\rho_{воз} V_t^2}{2 \rho_{вод} g}\left(\frac{1}{S_2^2}-\frac{1}{S_1^2}\right)=\frac{\rho_{воз} V_t^2\left(S_1^2-S_2^2\right)}{2 \rho_{вод} g S_1^2 S_2^2}=1.75 \ мм.$$ Ответ $\Delta h=1.75 \ мм.$ Задача 9 Условие Шарик всплывает с постоянной скоростью $v$ в жидкости, плотность $\rho_1$ которой в 4 раза больше плоскости материала шарика. Во сколько раз сила трения $F_{тр}$, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести $mg$, действующей на этот шарик? Решение По второму закону Ньютона $$F_{Арх} - mg - F_{тр} = 0,$$ где $$F_{Арх} = \rho_1 V g; \quad m = \rho_2 V.$$ Откуда $$V=\frac{m}{\rho_2},$$ тогда $$F_{A}=4 \rho_2 \frac{m}{\rho_2} g=4 m g.$$ Объединяя всё вышесказанное, получим $F_{тр}=3 m g$. Ответ $F_{тр}=3 m g$. Задача 10 Условие Какой наибольшей скорости $v$ может достичь дождевая капля диаметром $d=0.3 \ мм$, если динамическая вязкость воздуха $\eta = 1.2 \cdot 10^{-5}$ Па$\cdot$с? Решение Во время падения на каплю действуют две противоположно направленные силы. Сила тяжести $m \vec{g}$ и сила сопротивления воздуха $\vec{F}$ (силу Архимеда не учитываем). При увеличении скорости падения сила сопротивления растет. Максимальной скорости капля достигнет, когда сила тяжести и сила сопротивления воздуха станут равны, $F=m g$. По закону Стокса $$F=6 \pi \eta r v=3 \pi \eta d v,$$ тогда $$3 \pi \eta d v=m g.$$ Поскольку $$m=\rho V=\rho \frac{\pi d^3}{6},$$ где $\rho$ - плотность воды, то $$3 \pi \eta d v=\rho g \frac{\pi d^2}{6},$$ откуда $$v=\frac{\rho g d^2}{18 \eta}; \quad v=4.1 \ м/с.$$ Ответ $v=4.1 \ м/с.$ Задача 11 Условие Стальной шарик диаметром $d=1$ мм падает с постоянной скоростью $v=0.185 \ см/с$ в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найдите динамическую вязкость $\eta$ касторового масла. Решение Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона $$m g-F_{Арх} - F = 0,$$ где масса шарика $$m=\rho_{c} V g=\rho_{c} g \frac{\pi d^3}{6}.$$ Сила Архимеда $$F_{Арх}=\rho_{м} V g=\rho_{м} g \frac{\pi d^3}{6}.$$ Сила сопротивления масла $$F=3 \pi \eta d v$$ по закону Стокса. Подставляя уравнения первое, после несложных преобразований получим $$18 \eta v=d^2 g \left(\rho_{с}-\rho_{м}\right),$$ откуда $$\eta=\frac{d^2 g \left(\rho_{с}-\rho_{м}\right)}{18 v}=2 \ Па \cdot с.$$ Ответ $\eta=2 \ Па \cdot с.$