Гидрокинематика и гидродинамика: Часть 2

Задача 5

Условие

В сосуд льется вода, причем за единицу времени наливается объем воды V_t=0.2 \ л/с . Каким должен быть диаметр d отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне h=8.3 \ см ?

Решение

Чтобы вода в сосуде была на постоянном уровне, необходимо, чтобы за одинаковые промежутки времени втекало и вытекало одинаковое количество воды. V_t=\frac{V}{t}=\frac{l S}{t}=v S, отсюда v=\frac{V_{t}}{S}. Т.к. S=\frac{\pi d^2}{4} это площадь поперечного сечения отверстия, то скорость вытекания жидкости v=\frac{4 V_t}{\pi d^2}. Из уравнения Бернулли \frac{\rho v^2}{2}=\rho g h, отсюда v=\sqrt{2 g h}. Тогда \sqrt{2 g h}=\frac{4 V_t}{\pi d^2}; d^2=\frac{4 V_1}{\pi \sqrt{2 g h}}; d=\sqrt{\frac{4 V_t}{\pi \sqrt{2 g h}}}=1.4 \ см.

Ответ d=1.4 \ см.

Задача 6

Условие

Какое давление p создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вылетает из него со скоростью v=25 \ м/с ? Плотность краски \rho=0.8 \cdot 10^3 \ кг/м^3 .

Решение6 Уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости p+\frac{\rho v^2}{2}+\rho g h= const. В нашем случае при h=0 , p=\frac{\rho v^2}{2}=250 кПа.

Ответ p=250 кПа.

Задача 7

Условие

По горизонтальный трубе АВ течет жидкость. Разность уровней этой жидкости в трубах a и b равна \Delta h=10 см . Диаметры трубок a и b одинаковы. Найти скорость v течен жидкости в трубе A B .

17.1.с

Решение

Т.к. диаметры трубок D_a=D_b , площади поперечного сечения S_a=S_b . В силу неразрывности струи v_a S_a=v_b S_b. Подставляя v_a=v_b=v .

По формуле Торричелли \rho g a+\frac{\rho v^2}{2} = \rho g b, отсюда v^2 / 2=g b-g a=g(b-a). Т.к. b-a=\Delta h , то v^2=2 g \Delta h и v=\sqrt{2 g \Delta h}=1.4 \ м/с.

Ответ v=1.4 \ м/с.

Задача 8

Условие

Воздух продувается через трубку A B . За единицу времени через трубку A B протекает объем воздуха V_t=5 л/мин. Площадь поперечного сечения широкой части трубки равна S_1=2 \ см^2 , а узкой части трубки равна S_2=0.5 \ см^2 . Найти разность уровней \Delta h воды, налитой в трубку a b c . Плотность воздуха \rho=1.32 \ кг/м^3 .

17.2.с

Решение

Объем воздуха, протекающий за единицу времени через трубку AB V_t=\frac{V}{t}=\frac{l S}{t}=v S, отсюда v=\frac{V_{t}}{S}, где l это длина струи, t - время, v=l / t - скорость движения воздуха. v_1=\frac{V_t}{S_1}; \quad v_2=\frac{V_t}{S_2}; \quad V_t=8.33 \cdot 10^{-6} \ м/с. из формулы Торричелли имеем \frac{\rho_{воз} v_1^2}{2}+\rho_{вод} g \Delta h=\frac{\rho_{воз} v_2^2}{2}, откуда \Delta h=\frac{\rho_{воз} V_t^2}{2 \rho_{вод} g}\left(\frac{1}{S_2^2}-\frac{1}{S_1^2}\right)=\frac{\rho_{воз} V_t^2\left(S_1^2-S_2^2\right)}{2 \rho_{вод} g S_1^2 S_2^2}=1.75 \ мм.

Ответ \Delta h=1.75 \ мм.

Задача 9

Условие

Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости, плотность \rho_1 которой в 4 раза больше плоскости материала шарика. Во сколько раз сила трения F_{тр} , действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg , действующей на этот шарик?

Решение

По второму закону Ньютона F_{Арх} - mg - F_{тр} = 0, где F_{Арх} = \rho_1 V g; \quad m = \rho_2 V. Откуда V=\frac{m}{\rho_2}, тогда F_{A}=4 \rho_2 \frac{m}{\rho_2} g=4 m g. Объединяя всё вышесказанное, получим F_{тр}=3 m g .

Ответ F_{тр}=3 m g .

Задача 10

Условие

Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром d=0.3 \ мм , если динамическая вязкость воздуха \eta = 1.2 \cdot 10^{-5} Па \cdot с?

Решение

Во время падения на каплю действуют две противоположно направленные силы. Сила тяжести m \vec{g} и сила сопротивления воздуха \vec{F} (силу Архимеда не учитываем). При увеличении скорости падения сила сопротивления растет. Максимальной скорости капля достигнет, когда сила тяжести и сила сопротивления воздуха станут равны, F=m g . По закону Стокса F=6 \pi \eta r v=3 \pi \eta d v, тогда 3 \pi \eta d v=m g. Поскольку m=\rho V=\rho \frac{\pi d^3}{6}, где \rho - плотность воды, то 3 \pi \eta d v=\rho g \frac{\pi d^2}{6}, откуда v=\frac{\rho g d^2}{18 \eta}; \quad v=4.1 \ м/с.

Ответ v=4.1 \ м/с.

Задача 11

Условие

Стальной шарик диаметром d=1 мм падает с постоянной скоростью v=0.185 \ см/с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найдите динамическую вязкость \eta касторового масла.

Решение

Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона m g-F_{Арх} - F = 0, где масса шарика m=\rho_{c} V g=\rho_{c} g \frac{\pi d^3}{6}. Сила Архимеда F_{Арх}=\rho_{м} V g=\rho_{м} g \frac{\pi d^3}{6}. Сила сопротивления масла F=3 \pi \eta d v по закону Стокса. Подставляя уравнения первое, после несложных преобразований получим 18 \eta v=d^2 g \left(\rho_{с}-\rho_{м}\right), откуда \eta=\frac{d^2 g \left(\rho_{с}-\rho_{м}\right)}{18 v}=2 \ Па \cdot с.

Ответ \eta=2 \ Па \cdot с.