Атомы и молекулы. Спектроскопия.

7} Полный момент количества движения электронов атома $\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$, а полный магнитный момент атома $\vec{\mu}=\vec{\mu}_{L}+\vec{\mu}_{S}=-\frac{e}{2 m}(\vec{L}+2 \vec{S})$. Энергия атома в системе отсчета, связанной с ядром, в первую очередь зависит от его электронной конфигурации (далее обозначим набор квантовых чисел электронов атома, которые задают конфигурацию, символом $\gamma$ ). Однако при учете магнитных взаимодействий между электронами уровни энергии, соответствующие заданным конфигурациям, разбиваются на «подуровни», положение которых у «легких» атомов зависит от квантовых чисел $l$, s и $j$ (набор этих подуровней называют тонкой структурой энергетического уровня): $E=E_{\gamma}+\Delta E(\gamma, l, s, j)$. Если такой атом поместить во внешнее магнитное поле, то возникнет еще поправка к энергии, связанная с взаимодействием электронов атома с этим полем. Если внешнее поле намного слабее «внутриатомного», то такую поправку можно описать как дополнительное расщепление подуровней тонкой структуры на еще большее количество подуровней. Это должно привести к изменению спектра излучения атома при помещении его в магнитное поле, и это изменение действительно наблюдается и называется эффектом Зеемана. Постройте его теоретическое описание. Решение \begin{wrapfigure}{l}{0.25\textwidth} \center{ } \end{wrapfigure} Ясно, что энергия взаимодействия атома с магнитным полем определяется его полным магнитным моментом $\vec{\mu}=\vec{\mu}_{L}+\vec{\mu}_{S}=-\frac{e}{2 m}(\vec{L}+2 \vec{S})$. Однако при применении этого выражения мы должны учесть, что векторная наблюдаемая $\vec{L}+2 \vec{S}$ не имеет определенного значения в состоянии с определенным полным моментом $\vec{J}$. В рамках «упрощенной» квантовой модели можно считать, что это связано с быстрым «неконтролируемым» вращением всех векторных наблюдаемых атома вокруг $\vec{J}$. Тогда для определения «усредненного» по таким вращениям магнитного момента надо выделить неизменную при таких вращениях «продольную» по отношению к вектору полного момента компоненту $$ \vec{\mu}_{\|}=\frac{(\vec{\mu} \cdot \vec{J})}{|\vec{J}|} \frac{\vec{J}}{|\vec{J}|}=\frac{(\vec{\mu} \cdot \vec{J})}{\vec{J}^{2}} \vec{J} $$ Энергия взаимодействия атома с магнитным полем для состояния с определенным $\vec{J}^{2}$ должна записываться именно через $\vec{\mu}_{\|}:$ $$ E_{B}=-\left(\vec{\mu}_{\|} \cdot \vec{B}\right)=-\frac{(\vec{\mu} \cdot \vec{J})}{\vec{J}^{2}}(\vec{J} \cdot \vec{B})=+\frac{e}{2 m} \frac{((\vec{L}+2 \vec{S}) \cdot \vec{J})}{\vec{J}^{2}} B J_{z} $$ Здесь ось z направлена вдоль $\vec{B}$. Заметим, что выражение в числителе дроби можно выразить только через квадраты векторов: $$ ((\vec{L}+2 \vec{S}) \cdot(\vec{L}+\vec{S}))=\vec{L}^{2}+2 \vec{S}^{2}+3(\vec{L} \cdot \vec{S})=\vec{L}^{2}+2 \vec{S}^{2}+\frac{3}{2}\left(\vec{J}^{2}-\vec{L}^{2}-\vec{S}^{2}\right)=\vec{J}^{2}+\frac{1}{2}\left(\vec{J}^{2}-\vec{L}^{2}+\vec{S}^{2}\right) $$ Поэтому в состояниях атома с определенными значениями $\vec{L}^{2}=\hbar^{2} l(l+1), \vec{S}^{2}=\hbar^{2} s(s+1)$, $\vec{J}^{2}=\hbar^{2} j(j+1)$ и $J_{z}=\hbar m_{j}$ (отметим, что влияние магнитного поля, которое «различает» спиновый и орбитальный магнетизм, на самом деле разрушает такие состояния, но мы будем считать поле слабым - так, чтобы учитывать создаваемое им изменение энергии атома, но не учитывать более слабое изменение структуры атома) $$ E_{B}=+\frac{e \hbar}{2 m} B\left[1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2 j(j+1)}\right] m_{j} \equiv+\mu_{0} B g(j l s) \cdot m_{j} $$ (множитель $g(j / s)=\left[1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2 j(j+1)}\right]$ называют «множителем Ланде»). В присутствии магнитного поля энергия атома $E=E^{(0)}+E_{B}$. Энергия атома в отсутствие поля $E^{(0)}$ не зависит от $m_{j}$. Это ясно из соображений симметрии - до включения внешнего поля атом сферически симметричен (энергия кулоновских взаимодействий зависит только от расстояний между электронами, а кинетическая энергия - только от величины импульса), в нем нет выделенного направления, и энергия не может зависеть от величины одной из компонент вектора. Значит, после включения поля уровень $E_{0}$ «расщепится» на «подуровни», отвечающие различным $m_{j}$. В результате будет происходить и расщепление спектральных линий излучения атома при переходе между двумя уровнями (это явление эффект Зеемана - было экспериментально исследовано еще в XIX веке). Именно это явление позволило в свое время обнаружить наличие спина у электронов. В самом деле, если убрать из наших вычислений спин ( $s=0$ ), то тогда полный момент совпадает с орбитальным $\left(j=l, m_{j}=m\right)$, и тогда для всех состояний фактор Ланде $g \equiv 1$ и $E_{B}=+\mu_{0} B \cdot m$, то есть для всех атомов расстояние между соседними подуровнями зеемановского расщепления одинаково и равно $\delta E=\mu_{0}$ В. В этом случае, с учетом правил отбора, спектральная линия с циклической частотой $\omega_{0}$ расщепляется на три «компоненты» с частотами $\omega_{0}, \omega_{0} \pm \frac{\delta E}{\hbar...