Атомы и молекулы. Спектроскопия.

Задача 7

Условие

Полный момент количества движения электронов атома \vec{J}=\vec{L}+\vec{S} , а полный магнитный момент атома \vec{\mu}=\vec{\mu}_{L}+\vec{\mu}_{S}=-\frac{e}{2 m}(\vec{L}+2 \vec{S}) . Энергия атома в системе отсчета, связанной с ядром, в первую очередь зависит от его электронной конфигурации (далее обозначим набор квантовых чисел электронов атома, которые задают конфигурацию, символом \gamma ). Однако при учете магнитных взаимодействий между электронами уровни энергии, соответствующие заданным конфигурациям, разбиваются на «подуровни», положение которых у «легких» атомов зависит от квантовых чисел l , s и j (набор этих подуровней называют тонкой структурой энергетического уровня): E=E_{\gamma}+\Delta E(\gamma, l, s, j) . Если такой атом поместить во внешнее магнитное поле, то возникнет еще поправка к энергии, связанная с взаимодействием электронов атома с этим полем. Если внешнее поле намного слабее «внутриатомного», то такую поправку можно описать как дополнительное расщепление подуровней тонкой структуры на еще большее количество подуровней. Это должно привести к изменению спектра излучения атома при помещении его в магнитное поле, и это изменение действительно наблюдается и называется эффектом Зеемана. Постройте его теоретическое описание.

Решение 1 Ясно, что энергия взаимодействия атома с магнитным полем определяется его полным магнитным моментом \vec{\mu}=\vec{\mu}_{L}+\vec{\mu}_{S}=-\frac{e}{2 m}(\vec{L}+2 \vec{S}) . Однако при применении этого выражения мы должны учесть, что векторная наблюдаемая \vec{L}+2 \vec{S} не имеет определенного значения в состоянии с определенным полным моментом \vec{J} . В рамках «упрощенной» квантовой модели можно считать, что это связано с быстрым «неконтролируемым» вращением всех векторных наблюдаемых атома вокруг \vec{J} . Тогда для определения «усредненного» по таким вращениям магнитного момента надо выделить неизменную при таких вращениях «продольную» по отношению к вектору полного момента компоненту \vec{\mu}_{\|}=\frac{(\vec{\mu} \cdot \vec{J})}{|\vec{J}|} \frac{\vec{J}}{|\vec{J}|}=\frac{(\vec{\mu} \cdot \vec{J})}{\vec{J}^{2}} \vec{J} Энергия взаимодействия атома с магнитным полем для состояния с определенным \vec{J}^{2} должна записываться именно через \vec{\mu}_{\|}: E_{B}=-\left(\vec{\mu}_{\|} \cdot \vec{B}\right)=-\frac{(\vec{\mu} \cdot \vec{J})}{\vec{J}^{2}}(\vec{J} \cdot \vec{B})=+\frac{e}{2 m} \frac{((\vec{L}+2 \vec{S}) \cdot \vec{J})}{\vec{J}^{2}} B J_{z} Здесь ось z направлена вдоль \vec{B} . Заметим, что выражение в числителе дроби можно выразить только через квадраты векторов: ((\vec{L}+2 \vec{S}) \cdot(\vec{L}+\vec{S}))=\vec{L}^{2}+2 \vec{S}^{2}+3(\vec{L} \cdot \vec{S})=\vec{L}^{2}+2 \vec{S}^{2}+\frac{3}{2}\left(\vec{J}^{2}-\vec{L}^{2}-\vec{S}^{2}\right)=\vec{J}^{2}+\frac{1}{2}\left(\vec{J}^{2}-\vec{L}^{2}+\vec{S}^{2}\right) Поэтому в состояниях атома с определенными значениями \vec{L}^{2}=\hbar^{2} l(l+1), \vec{S}^{2}=\hbar^{2} s(s+1) , \vec{J}^{2}=\hbar^{2} j(j+1) и J_{z}=\hbar m_{j} (отметим, что влияние магнитного поля, которое «различает» спиновый и орбитальный магнетизм, на самом деле разрушает такие состояния, но мы будем считать поле слабым - так, чтобы учитывать создаваемое им изменение энергии атома, но не учитывать более слабое изменение структуры атома) E_{B}=+\frac{e \hbar}{2 m} B\left[1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2 j(j+1)}\right] m_{j} \equiv+\mu_{0} B g(j l s) \cdot m_{j} (множитель g(j / s)=\left[1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2 j(j+1)}\right] называют «множителем Ланде»). В присутствии магнитного поля энергия атома E=E^{(0)}+E_{B} . Энергия атома в отсутствие поля E^{(0)} не зависит от m_{j} . Это ясно из соображений симметрии - до включения внешнего поля атом сферически симметричен (энергия кулоновских взаимодействий зависит только от расстояний между электронами, а кинетическая энергия - только от величины импульса), в нем нет выделенного направления, и энергия не может зависеть от величины одной из компонент вектора. Значит, после включения поля уровень E_{0} «расщепится» на «подуровни», отвечающие различным m_{j} . В результате будет происходить и расщепление спектральных линий излучения атома при переходе между двумя уровнями (это явление эффект Зеемана - было экспериментально исследовано еще в XIX веке). Именно это явление позволило в свое время обнаружить наличие спина у электронов. В самом деле, если убрать из наших вычислений спин ( s=0 ), то тогда полный момент совпадает с орбитальным \left(j=l, m_{j}=m\right) , и тогда для всех состояний фактор Ланде g \equiv 1 и E_{B}=+\mu_{0} B \cdot m , то есть для всех атомов расстояние между соседними подуровнями зеемановского расщепления одинаково и равно \delta E=\mu_{0} В. В этом случае, с учетом правил отбора, спектральная линия с циклической частотой \omega_{0} расщепляется на три «компоненты» с частотами \omega_{0}, \omega_{0} \pm \frac{\delta E}{\hbar}=v_{0} \pm \frac{\Omega}{2} (см. рисунок слева, где показаны все разрешенные переходы между уровнями, расщепленными на 5 и 3 подуровня). Здесь частота \Omega=\frac{e B}{m} соответствует вращению частицы с удельным зарядом e / m в магнитном поле B (ее называют «ларморовской частотой»). Такое расщепление действительно наблюдается у некоторых линий, и его называют «нормальным эффектом Зеемана». Но у большинства спектральных линий наблюдается «аномальный эффект Зеемана», в котором число компонент может быть другим, и расстояние между ними отличаются от \frac{\Omega}{2} . 2 Пример: изучим расщепление в магнитном поле линии излучения атома, отвечающей переходу из начального состояния с j=\frac{3}{2}, l=1, s=\frac{1}{2} \quad в конечное состояние с j=\frac{1}{2}, l=0, s=\frac{1}{2} . В этом случае начальный уровень расщепляется на 4 подуровня: E_{2}=E_{2}^{(0)}+\frac{4}{3} \mu_{0} B \cdot m_{j}, m_{j}=+\frac{3}{2},+\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}, \quad а конечный - на два: E_{1}=E_{1}^{(0)}+2 \mu_{0} B \cdot m_{j}, m_{j}=+\frac{1}{2},-\frac{1}{2} . На рисунке справа изображены переходы между подуровнями, разрешенные правилами отбора. Подсчет разностей энергии показывает, что наблюдается 6 зеемановских компонент этой спектральной линии: \omega_{0} \pm \frac{\Omega}{6}, \omega_{0} \pm \frac{\Omega}{2} и \omega_{0} \pm \frac{5 \Omega}{6}\left(\omega_{0} \equiv \frac{E_{2}^{(0)}-E_{1}^{(0)}}{\hbar}\right) . Это - яркий пример аномального эффекта Зеемана.

Магнитный момент атома водорода складывается из момента, обусловленного движением электрона по орбите и спинового магнитного момента. С учетом того, что гиромагнитное отношение для спинового момента в два раза больше, чем для орбитального, полный магнитный момент атома \vec{\mu} = \vec{\mu}_l + \vec{\mu}_s = -\gamma_0(\vec{L} + 2\vec{S}) = -\mu_0(\vec{l} + 2\vec{s}) . Пусть атом водорода помещен в однородное магнитное поле с индукцией B – таком, что \mu_0 B = 3{,}6 мэВ. Кроме того, известно, что его электрон находится в одном из состояний с n = 2 , l = 0 . Найдите разность максимальной и минимальной энергии электрона в таких состояниях. Взаимодействием ядра атома с магнитным полем можно пренебречь. Ответ запишите в мэВ с точностью до десятых.