Атомы и молекулы - системы из ядер и электронов

Часть 2: Строение атома и периодическая система элементов. Видео

Часть 2: Строение атома и периодическая система элементов

Для атомов более сложных, чем водород, ситуация еще меньше похожа на движение в кулоновском поле. Ведь там «электронная оболочка» ядра содержит несколько электронов. Значит, каждый электрон движется в поле, создаваемом и ядром, и другими электронами. Но все же поля ядра из-за его малых размеров очень похоже на поле точечного заряда и его отклонения от центральной симметрии невелики. Как следствие, и облако электронов, удерживаемых притяжением ядра, тоже устроено почти симметрично. Поэтому «общее поле» атома близко к центрально-симметричному, но отличается от «чисто кулоновского». Можно сделать вывод, что энергии стационарных состояний электронов в многоэлектронных атомах описываются выражением вида E=E(n, l) . Сами же стационарные состояния нумеруются более широким набором квантовых чисел. Это: «главное» квантовое число n=1,2, \ldots (аналог номера орбиты в модели Бора), «орбитальное» квантовое число l=0,1, \ldots, n-1 (ясно, что величина энергии ограничивает возможные значения квадрата момента импульса), проекция орбитального момента m=-l,-l+1, \ldots, l-1, l , спин s=\frac{1}{2} (это значение относится ко всем электронам во всех состояниях вообще, так что его можно и не использовать в нумерации различных состояний), проекция спина m_{s}=-\frac{1}{2},+\frac{1}{2} . И здесь важно обратить внимание на то, как эти состояния заполняются электронами в конкретном атоме. Электроны - фермионы, и они не могут находиться в одном состоянии более чем по одному, то есть ни у одной пары не должны совпадать все квантовые числа. Энергия состояния растет с ростом n и ростом l . Группу состояний с одинаковым n иногда называют относящимися к одному «уровню энергии» (у легких атомов различие энергии между состояниями с разным n больше, чем внутри этой группы), группу состояний с одинаковыми n и l называют «электронной оболочкой» (в соответствии с тем, что с хорошей точностью E=E(n, l) , различия состояний по энергии внутри одной оболочки значительно меньше, чем между состояниями из разных оболочек). В соответствии с этим при добавлении электронов в оболочку атома строение атома в «основном» состоянии изменяется периодически: сначала (Z=2) оба электрона попадают на уровень с n=1 (при этом l=m=0, m_{s}= \pm \frac{1}{2} ), затем ( 3 \leq Z \leq 10 ) до 8 электронов - на уровень с n=2 (в две оболочки: l=m=0 и l=1, m=0, \pm 1 , и для обоих случаев m_{s}= \pm \frac{1}{2} ), затем до 18 электронов - на уровень с n=3 (три оболочки l=m=0, l=1, m=0, \pm 1, l=2, m=0, \pm 1, \pm 2 , и m_{s}= \pm \frac{1}{2} ) и так далее. Поскольку характер взаимодействия атома с другими атомами (то есть его химические свойства) зависит в первую очередь от строения его «наружной» электронной оболочки, то соответствующая периодичность должна наблюдаться в химических свойствах элементов. Таким образом, мы объяснили строение Таблицы химических элементов Д.И. Менделеева - в ней мы легко находим все названные числа!

Для лучшего понимания особенностей свойств момента импульса в микромире нужно обратить внимание на то, что в нем мы сталкиваемся с моментами импульса разной природы. Это могут быть орбитальные моменты (обусловленные вращением частицы по некоторой «орбите»), спиновые (связанные с «внутренней природой» частиц) и полные (являющиеся суммой всех моментов разной природы у системы частиц). Все они проявляют свойства, характерные для момента и разобранные нами выше. Но как производится сложение моментов? На первый взгляд, нам все должно быть ясно: эти наблюдаемые складываются векторным образом - например, полный момент есть сумма орбитального и спинового \vec{J}=\vec{L}+\vec{S} . Но с точки зрения измерений над квантовой системой прочтение этого равенства довольно нетривиально. В самом деле, мы не можем измерить вектор момента, так как разные его компоненты одновременно неизмеримы. Мы лишь понимаем, что J_{z}=L_{z}+S_{z} , и что разрешенные значения \vec{J}^{2} связаны с разрешенными значениями \vec{L}^{2} и \vec{S}^{2} . Рассмотрим для начала наиболее простой конкретный пример - сложение моментов в системе из двух электронов. Каждый из них имеет спин, для которого s=\frac{1}{2} , то есть наблюдаемая \vec{S}_{i}^{2} для i -го электрона имеет значение \hbar^{2} s(s+1)=\frac{3}{4} \hbar^{2} . Пусть орбитальный момент относительного движения электронов равен нулю. Что в этом случае может «выдать» нам прибор, измеряющий наблюдаемую \vec{S}^{2}=\left(\vec{S}_{1}+\vec{S}_{2}\right)^{2} (то есть квадрат полного момента этой системы, складывающегося из суммы двух спиновых моментов)? Для ответа на этот вопрос посмотрим сначала, какие значения может принимать наблюдаемая S_{z}=S_{1 z}+S_{2 z}:

Как видно, набор получившихся значений составляется из набора m_{s}=+1,0,-1 , соответствующего значению s=1 , и еще одного значения m_{s}=0 , отвечающего s=0 . Поэтому возможные значения \vec{S}^{2}=\hbar^{2} s(s+1)=2 \hbar^{2}, 0 . Более того, можно предсказать и вероятность, с которой будет получено каждое из этих значений: если состояния электронов независимы, то 3 из 4 возможных комбинаций отвечают s=1 , и только одна -s=0 . Итак: при наборе достаточно большой статистики прибор должен примерно в \frac{3}{4}=75 \% случаев выдавать 2 \hbar^{2} , и примерно в \frac{1}{4}=25 \% измерений -0 . Если аналогичные рассуждения провести для сложения двух произвольных моментов \vec{J}_{1} и \vec{J}_{2} , для которых состояния с определенными значениями \vec{J}^{2} и J_{z} характеризуются квантовыми числами j_{1}, m_{1} и j_{2}, m_{2} , то мы обнаружим, что проекции этих моментов на «выделенное» направление просто складываются: J_{z}=J_{1 z}+J_{2 z} \Rightarrow m=m_{1}+m_{2} , а возможные значения наблюдаемой \vec{J}^{2} будут равны \hbar^{2} j(j+1) , где квантовое число j пробегает ряд значений с шагом 1 от \left|j_{1}-j_{2}\right| до j_{1}+j_{2} . Это и есть «правило сложения моментов» в квантовой теории.

Эта же процедура реализуется и при записи закона сохранения момента импульса в микромире. Например, если атом с полным моментом \vec{J} испускает фотон, который имеет спиновый момент \vec{S}_{\gamma}\left(s_{\gamma}=1\right) , то закон сохранения момента означает, что \vec{J}=\vec{J}^{\prime}+\vec{S}_{\gamma}+\vec{L} , где \vec{L} - орбитальный момент фотона относительно центра масс атома. Поскольку длина волны испускаемого фотона много больше размеров атома (фотон вылетает практически «из точки», совпадающей с центром масс атома), то в подавляющем большинстве случаев орбитальный момент улетающего фотона равен нулю. Вновь, проведя анализ возможных значений J_{z}^{\prime}=J_{z}-S_{\gamma_{z}} , найдем что возможные значения квантового числа j^{\prime}=j+1, j, j-1 . Таким образом, на изменение этого квантового числа накладывается требование \Delta j=0, \pm 1 .

Такие требования, возникающие вследствие законов сохранения для разных процессов в микромире, носят название «правил отбора». В общем случае правила отбора для испускания атомом фотонов могут включать в себя целый ряд требований - в зависимости от типа перехода и количества изменяющих состояние электронов. Например, для наиболее часто встречающихся переходов: изменение m_{j} подчиняется ограничению \Delta m_{j}=0, \pm 1 при \Delta j= \pm 1 и \Delta m_{j}= \pm 1 при \Delta j=0 , изменение орбитального момента электронной оболочки атома \Delta l= \pm 1 , и при этом не изменяется ее суммарный спиновый момент, т.е. \Delta s=0 .

Пусть электрон в атоме водорода находится в состоянии с орбитальным моментом l = 2 . Каково максимальное возможное значение проекции на ось z полного момента системы в единицах \hbar (то есть наблюдаемой j_z = l_z + s_z )? Ответ запишите с точностью до десятых.

Позитроний --- связанная электростатическим притяжением система из электрона и позитрона (у позитрона, как и у электрона, спин равен 1/2 ). Пусть орбитальный момент относительного движения позитрона и электрона равен нулю. Каким при этом может быть максимально возможное значение квантового числа j , задающего значение квадрата полного момента позитрония в системе ее центра масс (напомним, что связь значения этой наблюдаемой и этого квантового числа \vec{J}^2 = \hbar^2 j(j+1) )? Ответ запишите с точностью до целого значения.